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LEHRBUCH

DER

A L G E B R A

ERSTER BAND

LEHRBUCH

DER

ALGEBRA

VON

HEINRICH WEBER

PROKEäSOR DER MATHE^rATIK AX DER UNIVERSITÄT STRAS.SIit:R6

ZWEITE AUFLAGE

PEPARTV.ENT OF MATHEMATICS i^NiVERSITY Or TORONTO ERSTER BAND

BRAUNSCHWEIG

DRUCK UND VERLAG VON FRIEDRICH VIEWEG UND SOHN

18 9 8

,^

Alle Eechte, namentlich dasjenige der Uebersetzung in fremde Sprachen,

vorbehalten.

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JÜN 111958

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VORWORT ZUR ERSTEN AUFLAGE.

JDei der Entwickelung , welche die Algebra in den letzten Jahrzehnten genommen hat, dürfte eine zusammenlassende Dar- stellung und Verknüpfung der verschiedenen theoretischen Be- trachtungen und mannigfachen Anwendungen auch nach dem für seine Zeit treftlichen Lehrbuch von Serret nützlich sein.

Seit Jahren hege ich den Plan eines solchen Unternehmens, das ja gross und weitaussehend erschien, und mancherlei Vor- arbeiten erforderte. Erst nachdem ich in Universitätsvorlesungen mehrmals das Gebiet im Ganzen durchwandert und einzelne Theile specieller behandelt hatte, entschloss ich mich, an die Ausführung des Werkes zu gehen, von dem jetzt der erste Band vollendet vorliegt.

Es war meine Absicht, ein Lehrbuch zu geben, das, ohne viel Vorkenntnisse vorauszusetzen, den Leser in die moderne Algebra einführen und auch zu den höheren und schwierigeren Partien hinführen sollte, in denen da? Interesse an dem Gegen- stande erst recht lebendig wird. Dabei sollten die erforderlichen Hülfsmittel, die elementaren sowohl als die höheren, aus dem Gange der Entwickelung selbst abgeleitet werden, um die Dar- stellung von anderen Lehrbüchern möglichst unabhängig zumachen.

Zwei Dinge sind es, die für die neueste Entwickelung der Algebra ganz besonders von Bedeutung geworden sind; das ist auf der einen Seite die immer mehr zur Herrschaft gelangende Gruppentheorie, deren ordnender und klärender Einfluss überall zu spüren ist, und sodann das Eingreifen der Zahlentheorie,

VI Vorwort zur ersten Auflage.

Wenn auch die Algebra zum Theil über die Zahlentheorie hin- ausgeht, und in andere Gebiete, z. B. die Functionentheorie, oder in ihren Amveiidungen auch in die Geometrie hinüber greift, so ist doch die Zahlenlehre immer das vorzüglichste Beispiel für alle algebraischen Betrachtungen, und die Fragen der Zahlen- theorie, die heute im Vordergrund des Interesses stehen, sind vorliegend algebraischer Natur. Hierdurch war der Weg be- zeichnet, den ich in meiner Arbeit zu gehen hatte.

Der grosse Stoff ist in zwei Bände vertheilt. Der erste Band enthält den elementaren Theil der Algebra, den man mit einem hergebrachten Ausdruck als Buchstabenrechnung bezeichnen kann, sodann die Vorschriften über die numerische Berechnung der Gleichungswurzeln und die Anfänge der Galois'schen Theorie.

Der zweite Band, der dem ersten hoffentlich in kurzer Zeit folgen wird, soll die allgemeine Theorie der endlichen Grupi^en, die Theorie der linearen Substitutionsgruppen und Anwendungen auf verschiedene einzelne Probleme bringen und soll abschliessen mit der Theorie der algebraischen Zahlen, wo der Versuch gemacht ist, die verschiedenen Gesichtspunkte, unter denen diese Theorie bisher betrachtet worden ist, zu vereinigen.

Endlich soll der zweite Band ein alphabetisches Register über beide Bände bringen.

Wie es bei einer Disciplin, die in rascher Eutwickelung begriffen ist. und an der von den verschiedensten Seiten gearbeitet wird, nicht anders sein kann, ist auch in der Algebra der Sprach- gebrauch und die Bezeichnungsweise sehr mannigfaltig und häufig nicht übereinstimmend. Dadurch wird eine einheitliche Dar- stellung und das Eindringen in die verschiedenen Arbeiten sehr erschwert.

Ich habe mich daher bemüht, eine möglichst zweckmässige Ausdrucksweise einheitlich beizubehalten, und habe mich dabei vielfach mit Fachgenossen berathen. Ich darf die Hoffnung aus- sprechen, dadurch zur Befestigung einer einheitlichen Termino- logie beigetragen zu haben.

Die Literaturnachweisungen und historischen Notizen , die in dem Buche gegeben sind, machen in keiner Weise den An- spruch auf Vollständigkeit, wenn ich auch bemüht gewesen bin.

Vorwort zur ersten Auflage. VII

nach Möglichkeit die wichtigsten Quellen und literarischen Hülfs- mittel an geeigneter Stelle zu erwähnen.

Es ist mir eine angenehme Pflicht, so manchem Freunde und Collegen, der au dem Fortschreiten meiner Arbeit regen und thatkräftigen Antheil genommen hat, hier meinen Dank auszu- sprechen. Zuerst gilt dieser Dank meinem Freunde Dedekind für seine treue Hülfe bei der Correctur, und wenn er auch auf den Plan und die Ausführung meines Werkes keinen Einfluss ausgeübt hat, so möchte ich doch nicht unerwähnt lassen, dass ich schon vor vielen Jahren durch ein Heft einer Vorlesung, die er im Winter 1857/58 in Göttingen über höhere Algebra, ins- besondere über die Theorie von Galois gehalten hat, ein noch lebhafteres Interesse für diese Theorie gewonnen habe, die vordem auf unseren Hochschulen in solcher Vollständigkeit wohl noch nicht vorgetragen war.

Auch der mannigfachen Anregung und Belehrung habe ich hier zu gedenken, die ich meinem Freunde und Collegen F. Klein verdanke, der das Fortschreiten der Arbeit mit regstem Interesse begleitet hat und dessen sachkundiger, stets bereitwilligst ge- gebener Rath in manchen Theilen des Buches von grossem Einfluss gewesen ist.

Ich kann hier nicht alle Fachgenossen und Freunde namhaft machen, die mich durch ihren Rath unterstützt haben, wie der Leser an den betreffenden Stellen finden wird. Aber der Herren E. Hess in Marburg, Fr. Meyer in Clausthal, R. Fr icke in Brauuschweig, die durch kundige und sorgfältige Ausführung der mühevollen Correctur der Druckbogen Genauigkeit und Richtigkeit des Textes gefördert haben, muss ich hier noch gedenken.

Endlich gilt mein Dank der Verlagsbuchhandlung, die durch bereitwilliges Eingehen auf meine Wünsche, durch Sorgfalt in Druck und Ausstattung wesentlich zum Gelingen des Ganzen beigetragen hat.

Göttingen, im November 1894.

Der Verfasser.

VORWORT ZUR ZWEITEN AUFLAGE.

J_yas Lehrbuch der Algebra geht hiermit zum zweiten Male in die Oeffentlichkeit. Plan und Gang der ersten Auflage sind durchweg beibehalten. Trotzdem ist das ganze Gebiet wiederholt durchgearbeitet, und manches Neue ist hinzugenommen, theils zur Berichtigung einzelner Irrthümer oder zur Erhöhung der Klarheit und Verständlichkeit, theils um durch Berücksichtigung neuer Arbeiten der Vollständigkeit näher zu kommen. Eine wesentliche Erweiterung hat die Theorie der Elimination im vierten Abschnitt gefunden.

Es ist mir abermals eine erfreuliche Pflicht, den zahlreichen Freunden des Buches, die mich durch Mittheilungen in der Neu- bearbeitung unterstützt haben, meinen Dank zu sagen. Ausser den in der Vorrede der ersten Auflage Genannten gilt dieser Dank vorzugsweise den Herren Hensel, Frobenius, Netto, sowie einem unbekannten Freunde und sorgfältigen Leser des Buches.

Strassburg, im Januar 1898.

Der Verfasser.

INHALT DES ERSTEN BANDES.

Seite

Einleitung 1

Erstes Buch. Die Grundlagen.

Erster Abschnitt. Rationale Functionen.

§. 1. Ganze Functionen 25

§. 2. Ein Satz von Gauss 27

§. 3. Division 30

§. 4. Theilung durch eine lineare Function 32

§. 5. Gebrochene Functionen; Theilbarkeit 34

§. 6. Grösster gemeinschaftlicher Theiler 37

§. 7. Producte linearer Factoren 41

§. 8. Der binomische Lehrsatz 45

§. 9. Interpolation 47

§. 10. Lösung des Interpolationsproblems durch die Differenzen ... 49

§. IL Arithmetische Reihen höherer Ordnung 50

§. 12. Der polynomische Lehrsatz 53

i^. 13. Derivirte Functionen 54

§. 14. Derivirte eines Productes 57

§. 15. Partialbrüche 59

§. 16. Entwickelung einer gebrochenen Function nach fallenden Potenzen

der Variablen 62

§. 17. Ganze Functionen mehrerer Veränderlichen: Formen 64

§. 18. Die Derivirten von Functionen mehrerer Variablen 67

{5. 19. Das Euler'sche Theorem über homogene Functionen 70

§. 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen 71

Zweiter Abschnitt.

Determinanten.

§. 21. Permutationen von n Elementen 78

§. 22. Perrautationen erster und zweiter Art 79

§. 23. Determinanten 82

§•	25.
§•	26.
§•	27.
?^-	28.
?j.	29.
§•	30.
>;.	31.
§•	32.

X Inhalt des ersten Bandes.

Seite

§. 24. Hauptsätze über Determinanten 84

Unterdeterminanten 86

Die Unterdeterminanten im weiteren Sinne 91

Lineare homogene Gleichungen 96

Elimination aus linearen Gleichungen 102

Unhomogene lineare Gleichungen 104

Multiplikation von Determinanten 108

Determinanten der Unterdeterminanten 113

Determinantensatz von Sylvester 115

Dritter Abschnitt.

Die Wurzeln algebraischer Gleichungen.

§. 33. Begriff der Wurzeln. Mehrfache Wurzeln 117

§. 34. Stetigkeit ganzer Functionen 119

§. 35. Yorzeichenwechsel von f{x). Wurzeln von Gleichungen un- geraden Grades und von reinen Gleichungen 123

§. .36. Lösung reiner Gleichungen durch trigonometrische Functionen 127

§. 37. Befreiung einer Gleichung vom zweiten Gliede 130

§. 38. Cubische Gleichungen. Gar dänische Formel 132

§. 39. Der Gay ley' sehe Ausdruck der Car danischen I'ormel . . . 134

§. 40. Die biquadratische Gleichung 135

§. 41. Beweis des P'undamentalsatzes der Algebra 137

§. 42. Algorithmus zur Berechnung der AVurzeln 143

§. 43. Zahlenwerthe ganzer Functionen 147

§. 44. Stetigkeit der Wurzeln 148

Vierter Abschnitt. Symmetrische Functionen.

§. 45. Begriff der symmetrischen Functionen. Symmetrische Grund-

functionen 154

' §. 46. Die Potenzsummen 156

§. 47. Beweis des Hauptsatzes für zwei Variable 160

§. 48. Allgemeiner Beweis des Hauptsatzes 161

§. 49. Zweiter Beweis des Satzes von den symmetrischen Functionen 163

§. 50. Discriminanten 167

§. 51. Kennzeichen für die Anzahl der verschiedenen Wurzeln . . . 170

§. 52. Discriminanten der Formen dritter und vierter Ordnung ... 172

§. 53. Resultanten 175

§. 54. Bestimmung der gemeinschaftlichen Factoren 179

ij. 55. Elimination. Theorem von Bezout 185

§. 56. Elimination aus drei Gleichungen 190

§. 57. Grad und Gewicht der Resultanten. Das Theoi'em von Bezout 193

§. 58. Tschirnhausen-Transformation 199

vj. 59. Anwendung auf die cubischen uud biquadratischeu Gleichungen 202

§. 60. Die Tschirnhausen -Transformation der Gleichung 5ten Grades 204

Inhalt des ersten Bandes. XI

Seite

Fünfter Abschnitt. Lineare Transformation. Invarianten.

§. 61. Einführung der linearen Transformation 207

§. 62. Quadratische Formen 208

§. 63. Transformation der quadratischen Formen iu eine Summe von

Quadraten 210

§. 64. Trägheitsgesetz der quadratischen Formen 212

§. 65. Transformation von Formen «te" Grades 214

§. 66. Invarianten und Covarianten 216

§. 67. Lineare Transformation der binären Formen 219

§. 68. Binäre cubische Formen 223

§. 69. Das volle Formensystem der binären cubischen Form 226

§. 70. Biquadratische Formen 229

§. 71. Auflösung der biquadratischen Gleichung 231

§. 72. Die Covarianten 233

§. 73. Das volle Invariantensystem der binären biquadratischen Form 236

Sechster Abschnitt.

Tschirnhausen-Transformation.

§. 74. Die Hermite'sche Form der Tschirnhausen -Transformation . 240

§. 75. Invarianteneigenschaft der Tschirnhausen -Transformation . . . 242

§. 76. Ausführungen über den Hermite'schen Satz 245

^. 77. Transformation der culnschen Gleichung 248

§. 78. Allgemeine Ausführung der Transformation 253

^. 79. Die Bezoutiante 255

§. 80. Transformation der Gleichung fünften Grades 260

§. 81. Normalform der Gleichung fünften Grades 263

Zweites Buch. Die Wurzeln,

Siebenter Abschnitt.

Realität der Wurzeln.

§. 82. Allgemeines über Realität von Gleichungswurzeln und über

Discriminanten 271

§. 83. Discussion der quadratischen und cubischen Gleichung .... 273

§. 84. Discussion der biquadratischen Gleichung 276

§. 85. Die Bezoutiante und ihre Bedeutung für die Wurzelreahtät . . 281

§. 86. Die Trägheit der Formen zweiten Grades 284

55. 87. Quadratische Formen mit verschwindender Determinante . . . 287

sj. 88. Quadratische Formen mit nicht verschwindender Determinante 290

§, 89. Anzahl der positiven und negativen Quadrate 291

{}. 90. Anwendung auf die Bezoutiante 296

§•	91.
sj.	92.
?;.	93.
§•	94.
55-	95.
§.	96.
§•	97.
§.	98.
§•	99.
j;.	100.
S-	101.
^?-	102.
§■	103.
§•	104.
§.	105.
§•	lOG.

XII Inhalt des ersten Bandes.

Seite

Achter Abschnitt. Der Sturm'sche Lehrsatz.

Das Sturm'sche Problem 301

Die Sturm'schen Ketten 302

Erstes Beispiel: Kngelfunctionen 304

Zweites Beispiel 307

Die Sturm'schen Functionen 311

Hermite's Lösung des Sturm'schen Problems 313

Bestimmung der Hermite'schen Form H 314

Die Determinante der Hermite'schen Form . 316

Formulirung der Aufgabe durch Hurwitz 318

Grundzüge der Charakteiistikentheorie 323

Charakteristik eines Systems von drei Functionen 325

Beziehung der Charakteristik zu den Schnittpunkten 327

Anwendung der Charakteristiken auf die Eingrenzung der

complexen Wurzeln einer Gleichung 329

Bestimmung der Charakteristik 331

Gauss' erster beweis des P'undamentalsatzes der Algebra . . 333

Der Satz von Hurwitz 335

Neunter Abschnitt. Absehätzung der Wurzeln.

Das Budan-Fourier'sche Theorem 341

Die Newton'sche Regel 345

Der Cartesische Lehrsatz 350

Das Jacobi'sche Kriterium 353

Kleins geometrische Yergleichung der verschiedenen Kriterien 354

Bestimmung einer oberen Grenze für die Wurzeln 358

Abschätzung der imaginären Wurzeln 360

Das Theorem von Rolle 361

Die Sätze von Laguerre für Gleichungen mit nur reellen

Wurzeln 364

Zehnter Abschnitt.

Genäherte Berechnung der Wurzeln.

Interpolation. Regula falsi 372

Die Newton'sche Näherungsmethode 376

Die Näherungsmethode von Daniel Bernoulli und ver- wandte Methodea 383

Die Näherungsmethode von Gräffe 386

Trigonometrische Auflösung cuV)ischer Gleichungen 391

Die Gauss' sehe Methode der Auflösung trinomischer Glei- chungen 393

Berechnung der imaginären Wurzeln einer trinomischen

Gleichung 397

§•	107.
S-	108.
§.	109.
>;.	110.
^•	111.
§•	112.
i^-	113.
§.	114.
§•	115.

§•	116.
§•	117.
§.	118.
§.	119.
§•	120.
§•	121.
§•	122.

Inlialt des ersten Bandes. XIII

Seite

Elfter Abschnitt.

Kettenbrüehe.

§. 123. Verwandlung rationaler Brüche in Kettenbrüche 400

§. 124. Kettenbruchentwickelung irrationaler Zahlen 403

§. 125. Die Näherungsbrüche 404

§. 126, Lösung unbestimmter Gleichungen mit zwei Unbekannten . . 407

§. 127. Convergenz der Näherungsbrüche 411

§. 128. Aequivalente Zahlen 413

§. 129. Entwickelung äquivalenter Zahlen in Kettenbrüche 417

§. 130. Quadratische Irrationalzahlen 419

§. 131. Reducirte Zahlen mit negativer Discriminante 423

§. 132. Reducirte Zahlen mit positiver Discriminante 427

§. 133. Entwickelung reeller quadratischer Irrationalzahlen in Ketten- brüche 429

§. 134. Beispiele 435

§. 135. Die PelTsche Gleichung 438

§. 136. Ableitung aller Lösungen der Pell 'sehen Gleichung aus der

kleinsten positiven 442

§. 137. Genäherte Berechnung der reellen Wurzeln einer numerischen

Gleichung durch Kettenbrüche 445

§. 138. Rationale Wurzeln ganzzahliger Gleichungen. Reducible

Gleichungen 447

Zwölfter Abschnitt. Theorie der Einlieitswurzeln.

§. 139. Die Einheitswurzelu 452

§. 140. Primitive Einheitswurzeln 455

§. 141. Gleichungen für die primitiven Einheitswurzeln Ht<=i Grades . 458

§. 142. * Die Discriminante der Kreistheiluugsgleichung 462

§. 143. Primitive Congruenzwurzeln 466

§. 144. Multiplikation und Theilung der trigonometrischen Functionen 474

§. 145. Vorzeichenbestimmung. Quadratische Reste 480

Drittes Buch. Algebraische Grössen.

Dreizehnter Abschnitt. Die Galoissche Theorie.

§. 146. Der Körperbegriff 491

§. 147. Adjunction ^^^

§. 148. Functionen in einem Körper 494

§. 149. Algebraische Körper 497

§. 150. Gleichzeitige Adjunction mehrerer algebraischer Grössen ... 499

XIV Inhalt des ersten Bandes.

Seite

§. 151. Primitive und imprimitive Körper 501

§. 152. Normalkörper. Galois'sche Resolvente 505

§. 153. Die Substitutionen eines Normalkörpers 508

§. 154. Zusammensetzung der Substitutionen 511

§. 155. Permutatiousgruppen 513

§. 156. Galois'sche Gruppe 517

§. 157. Transitive und intransitive (iruppen 523

§. 158. Primitive und imprimitive Gruppen 524

Vierzelmter Abschnitt.

Anwendung der Permutationsgruppen auf Gleichungen.

§. 159. Wirkung der Permutationsgruppen auf Functionen von un- abhängigen Veränderlichen 529

§. 160. Zerlegung von Permutationen in Transposition und in Cyklen 533

§. 161. Divisoren der Gruppen, Xebengruppeu und conjugirte Gruppen 542 §. 162. Reduction der Galois'schen Resolvente durch Adjunction.

Normaltheiler einer Gruppe 548

§. 163. Die Gruppe der Resolventen 553

§. 164. Reduction der Galois'schen Gruppe durch Adjunction belie- biger Irrationalitäten 555

§. 1G5. Imprimitive Gruppen 558

Fünfzehnter Abschnitt.

Cyklisehe Gleichungen.

§. 166. Cubische Gleichungen 564

§. 167. Permutationsgruppen von vier Elementen 566

§. 168. Auflösung der biquadratischen Gleichungen 570

§. 169. Abel'sche Gleichungen . . .• 575

§. 170. Reduction der Abel' sehen Gleichuugen auf cyklisehe .... 579

§. 171. Resolventen von Lagrange 584

§. 172. Auflösung der cvklischen Gleichungen 588

§. 173. Theilung des Winkels 593

Sechzehnter Abschnitt.

Kreis theilung,

§. 174. Irreducibilität der Kreistheilungsgleichung 596-,

§. 175. Die Kreistheilungsperioden und die Periodengleichungen . . . 601 §. 176. Gauss' sehe Methode zur Berechnung der Resolventen .... 606 §. 177. Zurückführung der Kreistheilungsgleichung auf reine Glei- chungen 610

§. 178. Eigenschaften der Zahlen »/< 617

§. 179. Die Gauss' sehen Summen 621

§. 180. Die Perioden von VsC» — 1) und \^(n — ]) Gliedern 628

§. 181. Die complexen Zahlen von Gauss 635

§. 182. Der Körper der dritten Eiuheitswurzeln 641

Inhalt des ersten Bandes. XV

Seite

Siebzelinter Abschnitt.

Algebraische Auflösung von Gleichlingen,

§. 183. Reduction der Gruppe durch reine Gleichungen 644

§. 184. Metacyklische Gleichungen 646

§. 185. Einfachheit der alternirendcn Gruppe 649

§. 186. Xichtmetacyklische Gleichungen im Körper der rationalen

Zahlen 652

§. 187. Auflösung durch reelle Eadicale 655

§. 188. Metacyklische Gleichungen von Primzahlgrad 658

§. 189. Anwendung auf die metacyklischen Gleichungen Sten Grades . 670

§. 190. Die Gruppe der Resolvente 676

Achtzehnter Abschnitt. Wurzeln metacyklischer Gleichungen.

§. 191. Stellung der Aufgabe. Hülfssatz 680

§. 192. Sätze über die Resolventen 683

§. 193. Wurzeln metacyklischer Gleichungen 688

§. 194. Befreiung von den beschränkenden Voraussetzungen 691

§. 195. Realitätsverhältnisse 697

§. 196. Metacyklische Gleichungen 5ten Grades 698

EI^LEITU^^G.

Wir setzen bei unseren Betrachtungen die natürlichen Zahlen 1, 2, 3 . . . und die Regeln, nach denen mit diesen Zahlen gerechnet wird, als bekannt und gegeben voraus. Die fundamentalen Rechenarten, die sogenannten vier Species, sind die Addition, die Multiplication, zu der als Wiederholung das Potenziren gehört, die Subtraction und die Division. Die beiden ersten heissen die directen Rechenoperationen; sie sind dadurch ausgezeichnet, dass sie im Reiche der natürlichen Zahlen unbegrenzt ausgeführt werden können. Die erste der indirecten oder inversen Operationen, die Subtraction, lässt sich nur dann ausführen, wenn der Minuend grösser ist als der Sub- trahend.

Die Aufgabe der Division kann man auf zwei Arten auf- fassen. Bei der ersten elementaren Auffassung wird gefragt, wie oft der Divisor im Dividenden enthalten ist. Eine Zahl ist nicht in einer kleineren enthalten. Ist aber der Dividend gleich oder grösser als der Divisor, so giebt die Beantwortung der Frage einen Quotienten und in den meisten Fällen einen Rest, der kleiner als der Divisor ist. Wenn kein Rest bleibt, so sagt man, die Division geht auf, oder der Dividend ist durch den Divisor theilbar, oder der Divisor ist ein Factor oder Theiler der Zahl, die den Dividenden bildet.

Diese Aufgabe, die sich schon auf den ersten Stufen der Rechenkunst einstellt, führt zu einer tiefer liegenden Unter- scheidung der Zahlen, die das Fundament aller Zahlentheorie ist.

Da ein Factor nie grösser sein kann als die Zahl, deren Factor sie ist, so hat jede Zahl nur eine endliche Anzahl von Factoren. Jede Zahl ist durch 1 und durch sich selbst theilbar, und eine Zahl, die sonst keinen Theiler hat, heisst eine Prim- zahl. Die Zahl 1 selbst pflegt man aus Zweckmässigkeitsgründen

Weber, Algebra. I. 1

2 Einleitung.

nicht als Primzahl zu bezeichnen. Sind zwei Zahlen durch eine dritte theilbar, so ist auch die Summe und die Differenz der beiden ersten durch die dritte theilbar; und ist eine Zahl durch eine zweite, diese durch eine dritte theilbar, so ist auch die erste durch die dritte theilbar.

Zwei Zahlen haben immer den gemeinsamen Theiler 1. Wenn sie keinen anderen gemeinsamen Theiler haben, wie z. B. die Zahlenpaare 5 und 7 oder 21 und 38, so heissen die beiden Zahlen relative Primzahlen oder auch theilerfremde Zahlen.

Unter den gemeinsamen Theilern von irgend zwei gegebenen Zahlen wird einer der grösste sein, und es ist eine sehr wichtige Aufgabe, diesen grössten gemeinschaftlichen Theiler zu finden. Dazu führt ein Verfahren, das unter dem Namen Algorithmus des grössten gemeinschaftlichen Theilers bekannt ist, und sich schon bei Euklid^) findet.

Sind a, «i die beiden Zahlen, so nehme man die grössere von ihnen, die a sei, als Dividenden, die kleinere «j als Divisor, und bestimme den Quotienten gi ; und wenn die Division nicht aufgeht, den Rest a^^ also a = q^ ciy -|- «2? so dass a, <C «i ist. Jeder gemeinschaftliche Theiler von a und a^ ist dann auch ge- meinschaftlicher Theiler von a^ und «2 ^^nd umgekehrt. Verfälirt man mit aj, a^ ebenso wie mit a und a^ und setzt, wenn die Division nicht aufgeht, a^ = q-^ a.^ -\- %, so ist wieder a^ <; «21 ^i^d jeder gemeinschaftlicbe Theiler von a^ und a-i ist auch gemeinschaft- licher Theiler von a, und n. und umgekehrt. Fährt man auf diese Weise fort zu dividiren, so muss, da die Zahlen a^ax-a^^a^ ... immer abnehmen, nothwendiger Weise die Division nach einer endlichen Anzahl von Schritten aufgehen, und es muss also zuletzt ein Paar von Gleichungen a,-2 = ^v-i «v-i + a,., a^-\ = qvdv auftreten. Dann ist a» ein gemeinschaftlicher Theiler aller vor- ausgehenden rt, also auch von a und «i , und jeder gemein- schaftliche Theiler von a und «i ist Theiler von «>.. Also ist ttv der grösste gemeinschaftliche Theiler von a und cti, und wir sind zugleich zu dem Satze gelangt, dass jeder gemein- schaftliche Theiler zweier Zahlen in ihrem grössten gemein- schaftlichen Theiler aufgehen muss.

Sind a und «i relative Primzahlen, so ist der letzte Divisor a» = 1. Multiplicirt man unter dieser Voraussetzung die vor-

ij Elemente, Buch VIL'II, Bd. II der Heiberg'schen Ausgabe (Leipzig^ Teubner, 1883).

Zerlegung in Primzahlen. 3

stehenden Gleichungen mit irgend einer Zahl &, so folgt, dass h der grösste gemeinschaftliche Theiler von ah und a^h ist, und dass also jeder gemeinschaftliche Theiler von ah und «j oder von a und a^ h Theiler von h sein muss. Ist also a^ relativ prim zu a und zu h, so ist es auch relativ prim zu ah, und aus der speciellen Annahme, dass a^ eine Primzahl sei, ergiebt sich, dass ein Product nur dann durch eine Primzahl theilbar sein kann, wenn wenigstens einer der Factoren durch sie theilbar ist.

Ist also das Product ah durch a^ theilbar und ist a^ relativ prim zu a, so muss h durch «^ theilbar sein.

Sind a, h irgend zwei Zahlen mit dem grössten gemeinschaft- lichen Theiler d und ist a = d o', h ::= d h\ so sind a' und h' relativ prim zu einander. Jede Zahl m, die zugleich ein Viel- faches von a und von h ist, hat die Form m = am' = da' m' und darin muss a' m' ein Vielfaches von h' sein, also muss auch 7n' ein Vielfaches von h' sein, d. h. jede Zahl, die zugleich ein Vielfaches von a und von h ist, ist durch a'h'd theilbar. Diese Zahl a'h'd, die selbst ein gemeinschaftliches Vielfaches von a und h ist, heisst daher das kleinste gemeinschaftliche Viel- fache von a und h.

Wenn eine Zahl durch zwei relative Primzahlen theilbar ist, so ist sie auch durch ihr Product theilbar. und wenn also eine Zahl m durch mehrere Zahlen theilbar ist, von denen je zwei zu einander relativ prim sind, so ist sie auch durch das Product aller dieser Zahlen theilbar.

Jede Zahl m, mit Ausnahme von 1, ist durch eine Primzahl theilbar. Denn ist m nicht selbst eine Primzahl, so hat m einen von 1 verschiedenen Theiler wi', der kleiner als m ist. Ist m' auch keine Primzahl, so hat es einen kleineren Theiler m", der grösser als 1 ist, und der auch Theiler von m ist, u. s. f., und so gelangt man auf einen Primzahltheiler von ni.

Eine Potenz a" einer Primzahl a kann durch keine von a verschiedene Primzahl h theilbar sein, weil eben sonst a durch h theilbar sein müsste. Folglich kann a" keine anderen Theiler haben, als Potenzen von a, deren Exponent nicht grösser als « ist. Potenzen verschiedener Primzahlen, wie a", &.^, sind daher stets relativ prim.

Hierauf gründet sich der Beweis des wichtigen Satzes, dass eine Zahl m immer und nur auf eine einzige Weise als ein

1*

4 Einleitung.

Prodiict von Primzahlen dargestellt werden kann. Denn da der Theiler nicht grösser sein kann als der Dividend, so kann m sicher nur durch eine endliche Anzahl von Primzahlen theilbar sein. Ist a eine von diesen Primzahlen und a" die höchste Potenz von a, die in m aufgeht, so ist auch « eine bestimmte Zahl. Es seien nun ebenso 6^, c^ . . . die höchsten Potenzen der übrigen in m aufgehenden Primzahlen b. c . . ., durch die sich m theilen lässt, dann muss. da je zwei der Zahlen a", h\ C'' . . . relativ prim sind , m auch durch das Product a" h^ & . . . theilbar sein , und es muss m diesem Product e gleich sein, da sonst noch eine andere Primzahl oder eine höhere Potenz einer der Primzahlen o, &, c . . , in m aufgehen müsste.

Wir geben nun einen Ueberblick über die in der Mathe- matik nothwendigen und allmählich eingeführten Erweiterungen des Zahlenbegriffes.

Wir verstehen unter einer Mannigfaltigkeit oder Menge, oder dem abkürzenden Zeichen 50^ ein System von Objecten oder Elementen irgend welcher Art, das so in sich abgegrenzt und vollendet ist, dass von jedem beliebigen Object vollkommen be- stimmt ist, ob es zu dem System gehört oder nicht, gleichviel, ob wir im Stande sind, in jedem besonderen Falle die Ent- scheidung wirklich zu treffen oder nicht.

Eine Menge heisst geordnet, wenn von irgend zwei unter- schiedenen ihrer Elemente immer ein in sich vollkommen be- stimmtes als das grössere gilt, und zwar so, dass aus a >> &, 6 >. c stets « >> c folgt. Ist a >> 6 und & >> c oder rt >> & >> c, so sagen wir, dass & zwischen a und c liegt.

Die natürlichen Zahlen bilden eine geordnete Menge; zwischen zwei auf einander folgenden ihrer Elemente liegt kein weiteres Element. Eine solche Mannigfaltigkeit heisst eine discrete. Eine geordnete ^lenge von der Eigenschaft, dass zwischen je zwei Elementen immer noch andere Elemente gefunden werden, heisst dicht. Eine dichte Menge kann man bilden, wenn man die natürlichen Zahlen in Paaren zusammenfasst, und diese Paare als Elemente einer Menge auffasst. Diese Paare sollen Brüche

genannt und mit m : n oder — bezeichnet werden, und zwei solche

Brüche m:ii und m' -.n' werden einander gleich gesetzt, wenn m n' = n m' ist. Fasst man alle unter einander gleichen Brüche

Schnitte. 5

ZU einem Element zusammen, so erhält man eine Mannigfaltig- keit, die geordnet ist, wenn man noch festsetzt, dass m : n grösser als m' : n' ist, wenn m n' >> n m' ist. Dass diese Mannigfaltigkeit dicht ist, sieht man so ein: sind |u. = w* : w, |u,' = m' : n' zwei Brüche und /x >> fi', so kann man, wenn h eine willkürliche Zahl ist,

limn' , hm! n

^ hnn'^ hnn'

setzen, und darin ist hmn' >> hm' n. Man kann h immer so annehmen, dass zwischen hmn' und hm' n noch Zahlen liegen, und wenn ^j eine solche Zahl ist, so liegt p : hnn' zwischen ^ und fi'.

Die Punkte einer geraden Linie kann man auch als eine geordnete Menge auffassen, wenn man unter grösser und kleiner irgend eine Ortsbeziehung, z. B. weiter rechts und weiter links oder höher und tiefer versteht.

Eine Eintheilung einer geordneten Menge 5Ji in zwei Theile J., B der Art, dass jedes Element a von A kleiner ist als jedes Element h von 7?, wird ein Schnitt in ^]li genannt und wird passend durch (J., B) bezeichnet. Ein solcher Schnitt entsteht, wenn man irgend ein Element ft von '»Dt herausgreift, alle kleineren Elemente zu A^ alle grösseren zu B und fi selbst nach Belieben zu A oder zu B rechnet. Es entstehen, genau gesagt, je nachdem man das eine oder das andere thut, zwei Schnitte, die wir aber immer als gleich betrachten wollen. Wenn in einem Schnitt fJ., B) entweder A ein grösstes oder B ein kleinstes Element ju- enthält, so sagen wir, dass ^ den Schnitt (J., B) er- zeugt. Es kann aber auch der Fall vorkommen, dass weder A ein grösstes noch B ein kleinstes Element besitzt.

Wenn jeder Schnitt in einer dichten Menge durch ein bestimmtes Element ft erzeugt wird, so heisst die Menge stetig.

Stetigkeit sowohl als Dichtigkeit sind Eigenschaften, die der Natur der Sache nach unserer Sinneswahrnehmung unzugänglich sind; sie lassen sich daher auch an Dingen der Aussenwelt, an Raumgrössen, Zeiträumen, Massen, niemals mit Strenge nach- weisen, wie sehr sie uns auch im Wesen unserer Anschauung zu liegen scheinen. Es lassen sich aber sehr wohl reine Begriffs-

6 Einleitung.

Systeme construiren , denen die Dichtigkeit ohne die Stetigkeit oder auch Dichtigkeit und Stetigkeit zukommen i).

Ein Beispiel einer dichten Menge bieten die rationalen Brüche. Diese Mannigfaltigkeit, die wir mit 9i bezeichnen wollen, ist keine stetige. Denn nehmen wir irgend einen rationalen Bruch ^ = m : n^ worin m und n keinen gemeinschaftlichen Theiler haben und nicht beide Quadratzahlen sind, so ist ^ nicht das Quadrat eines rationalen Bruches. Denn wäre [i = p- : q'^, so würde niq^ = np- folgen, und daraus, wenn auch p und q ohne gemeinschaftlichen Theiler angenommen werden , m = p"^, n ^= g^ was durch die Voraussetzung ausgeschlossen ist. Wenn wir also einen Schnitt (J., B) in der Mannigfaltigkeit 9i bilden, indem wir jedes Element a von 5R zu A rechnen, dessen Quadrat kleiner als ft ist, und jedes Element 6 zu jB, dessen Quadrat grösser als ^ ist, so ist weder in A ein grösstes noch in B ein kleinstes Element enthalten, und der Schnitt (J., B) wird nicht durch ein Element in 9t erzeugt.

Denn angenommen, es sei a=p : q irgend ein Element in A^ also p- : q- <Z m : n oder np)- <C mq-\ dann nehmen wir eine natürliche Zahl y beliebig und wählen eine andere natür- liche Zahl X so, dass x '^ y und x (mq^ — np^) > ny (2 p + ^)i woraus folgt:

x^ (mq-^ — np-) ^ nxy {2p + 1) > w (2p xy + y-),

also auch

mq^x^ >> n(px -\- y)^.

Setzen wir also a' =: (p x -\- y) : q x^ so ist a' >> a und a' - •< ft, also a' auch in A enthalten; und ebenso kann man zeigen, dass es in B kein kleinstes Element giebt.

Die Mannigfaltigkeit 9i kann uns aber als Ausgangspunkt dienen, um eine stetige Menge zu construiren. Die Gesammtheit aller Schnitte in 9i ist gewiss eine Mannigfaltigkeit, die mit S bezeichnet sein mag. Betrachten wir zwei verschiedene ihrer Elemente a = (A, B), u' — (A'. B'), so wird entweder A ein Theil von A! oder A ein Theil von A sein. Denn wenn irgend

1) Dies ist von Dedekind nachgewiesen, dem wir überhaupt die oben gegebene Definition der Stetigkeit verdanken. Vgl. die Schriften von Dedekind, „Stetigkeit und irrationale Zahlen", Braunschweig 1872, 1892. „Was sind und was sollen die Zahlen?", Braunschweig 1888, 1893. Andere Mannigfaltigkeiten, denen die Stetigkeit zukommt, sind von Weierstrass und G. Cantor gebildet.

Stetigkeit. 7

ein Element a zm A gehört, so gehört auch jedes kleinere Ele- ment von IR zu A. Ist A ein Theil von A', so wollen wir a kleiner als a nennen, und dadurch ist die Menge © zu einer geordneten geworden.

Sehen wir die durch die rationalen Brüche erzeugten Schnitte als gleichwerthig mit diesen rationalen Brüchen selbst an und nennen sie kurz rationale Schnitte, so enthält die Menge @ die Menge 9t, und 'B ist also jedenfalls eine dichte Menge. Die Menge <B ist aber auch stetig; denn bezeichnen wir die Theile von <B durch die grossen deutschen Buchstaben 5(, 23 . . . und be- trachten irgend einen Schnitt (% S) in der Mannigfaltigkeit der Schnitte, so können wir ein Element in <B bestimmen, oc = (A^ B), indem wir in A jeden rationalen Bruch aufnehmen, der einen der Schnitte von ^I erzeugt, und alle anderen rationalen Brüche, die also die rationalen Schnitte in S erzeugen, nach B werfen. Dieser Schnitt a in 9t erzeugt den Schnitt {% S) in ©. Dies wird nachgewiesen sein, wenn gezeigt ist, dass jedes Element a' in ©, was kleiner ist als «, zu ^ gehört, und jedes Element ß in <B, was grösser ist als oc, zu 58.

Sei also «' = (A', B') und «'■<«, dann giebt es rationale Brüche in A, die nicht in A' enthalten sind; es giebt also ein rationales ft, so dass «' <; |u << a, und dieses ^ erzeugt einen Schnitt, der in % enthalten ist, gehört also selbst zu 51; da a' <C f* ist, so gehört auch «' zu %. Ganz ebenso zeigt man, dass jedes ß\ das grösser als a ist, zu 58 gehört, und damit ist die Stetigkeit von <B nachgewiesen.

Diese sehr abstracte Betrachtungsweise giebt uns die Sicher- heit, dass die Annahme einer stetigen Menge keinen Widerspruch enthält, dass solche Mengen wenigstens im Reiche der Gedanken existiren. Die Geometrie wie die Analysis, die immer gern an die geometrische Anschauung anknüpft, hat lange stillschweigend die Existenz stetiger Mengen, z. B. bei den Punkten einer ge- raden Linie oder irgend eines anderen zusammenhängenden Linienzuges, als eine Art von Axiom angenommen. Auch der Unterschied zwischen dichter und stetiger Menge, der der Unter- scheidung commensurabler und incommensurabler Strecken zu Grunde liegt, ist den Alten nicht entgangen 1).

1) Euklid, Elemente, Buch X.

8 Einleitung.

Auch wir wollen in der Folge nicht auf das Hülfsmittel der geometrischen Anschauung verzichten, und z. B. die Punkte einer geraden Linie unbedenklich als eine stetige Menge betrachten.

Eine geordnete Menge üJi heisst messbar unter folgenden Voraussetzungen: Addition und Vervielfältigung sind in "OJi all- gemein ausführbar, ebenso Subtraction eines kleineren von einem grösseren Element, d. h. aus irgend zwei Elementen a, b (die auch identisch sein können) kann nach einer bestimmten Vor- schrift ein neues Element, a -\- b, von 9J^ abgeleitet werden, so dass a -\- b grösser als a und als b ist, und dass die bekannten, in den Formeln a -^ b ^= b -\- a, (a -\- b) -\- c = a -\- {b -\- c) ausgedrückten Regeln der Addition gelten ; und zu zwei Ele- menten a, c, von denen das zweite grösser ist. kann ein drittes Element b gefunden werden, so dass a -\- b = c ist, was auch durch das Zeichen der Subtraction b = c — a ausgedrückt wird. Zwei ungleiche Elemente von W haben also immer eine bestimmte Differenz. Aus diesen Voraussetzungen folgt, dass eine Summe grösser wird . wenn einer der Summanden sich vergrössert. Die \\-iederholte, etwa wi-malige Addition desselben Elementes a heisst Vervielfältigung und ihr Ergebniss wird mit nia bezeichnet.

Es kommt endlich noch eine Voraussetzung hinzu, nämlich die, dass bei jedem gegebenen a ein hinlänglich hohes Vielfaches ma grösser ist, als ein beliebig gegebenes anderes Element b. Unter den Elementen einer messbaren Menge giebt es also kein grösstes.

In einer dichten messbaren Menge giebt es auch kein kleinstes Element; denn wäre a das kleinste und b ein beliebiges Element, so könnten zwischen b und b -]- a keine Elemente liegen, weil, wenn b <^ c <Z b -^ a wäre, aus der Definition der Messbarkeit folgen würde, dass a' = c — b kleiner als a wäre. Es folgt auch umgekehrt, dass eine messbare Menge, in der kein kleinstes Element vorkommt, dicht ist. Denn sind a und a -f- & irgend zwei Elemente, so braucht man ja zu a nur ein Element zu addiren, was kleiner als b ist, um ein Element zwischen a und a -\- b zu erhalten.

Ist eine Menge stetig, so lassen sich die Voraussetzungen für die Messbarkeit noch vereinfachen, weil dann die Subtraction eine Folge der Addition ist. Sind nämlich a und c zwei Ele- mente einer stetigen geordneten Menge ^)Jf, in der die Addition

Messbare Mengen. 9

besteht, und ist c >> a, so erhcält man einen Schnitt (Ä, B) in 511, wenn man alle Elemente x, für die a -\- x ^ c ist, nach A, und für die a + a; > c ist, nach B verweist. Dieser Schnitt wird durch ein Element h erzeugt, für das a -\- h = c sein rauss.

Die natürlichen Zahlen bilden nach unserer Definition eine messbare Menge, in der ein kleinstes Element, nämlich 1, vor- kommt. Die Mannigfaltigkeit der rationalen Brüche wird eben- falls messbar, wenn man Addition und Subtraction nach den bekannten Regeln der Bruchrechnung erklärt. Besonders wichtig und gleichsam typisch für die messbaren Mengen ist die Mannig- faltigkeit der geradlinigen Strecken oder Längen einer Linie, die einfach durch Aneinanderlegen addirt werden. Auch Stoff- mengen, durch die Wage verglichen, und Zeiträume, mit der Uhr gemessen , liefern Beispiele messbarer Mengen. Die Art des Messens liegt nicht in der Natur der Mannigfaltigkeit selbst, sondern wird durch den denkenden Beobachter hineingelegt; so würde es z. B. ebenso gut zulässig sein, unter der Summe a -^ b zweier Strecken a und h die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a, h zu verstehen, statt, wie es ge- wöhnlich angenommen wird, die aus a und h durch Aneinander- legen zusammengesetzte Strecke.

Um die stetige Menge © der Schnitte in der Mannigfaltig- keit der rationalen Brüche 9i zu einer messbaren zu machen, beachte man zunächst Folgendes.

Ist a = {A^ B) ein Element in © und ft ein beliebig ge- gebener rationaler Bruch, so kann man immer ein Element a' in A so bestimmen, dass a' -\- [i = b' in B enthalten ist. Denn wählt man in J., B zwei beliebige Elemente a, h, so kann man die natürliche Zahl m so bestimmen, dass m^^ b — a ist, so dass a -}- m^ in B enthalten ist. Ist dann h die kleinste ganze Zahl, für die a -|- /ift in 53 enthalten ist, so ist a-\-{li — 1)^ = a' in A und also a' -\- ^ = h' in B enthalten.

Wir verstehen nun unter der Summe {A^ B) -j- {A\ B') = (A'\ B") oder a -\- c/J := a" den Schnitt in 9t, den man erhält, wenn man einen rationalen Bruch a" nur dann nach A" verweist, wenn ein a in J. und ein a' in A' existirt von der Beschaffen- heit, dass a" ^ a -{- a' ist. In der That ist {A!\ B") ein Schnitt; denn ist a" in A" enthalten, so gilt dasselbe von jedem kleineren Bruch, und es giebt Brüche, die in A'\ und Brüche, die nicht in A" enthalten sind, nämlich die Brüche von der Form a -\- a'

10 Einleitung.

und h -[- h'. Es ist ferner a" grösser als a und a'. Denn A" enthält zunächst alle J., und wenn a' ein beliebiger Bruch in Ä ist, so kann man a in A so wählen, dass das Element a -\- a' von A" in B enthalten ist; also ist A!' umfassender als A. Die durch rationale Brüche fi, ft' erzeugten Schnitte ergeben durch Addition den durch (u- -}- ft' erzeugten Schnitt.

Die Bedeutung dieser Definition erweist sich in folgendem Satze:

Ist 53^ eine stetige messbare Mannigfaltigkeit,

und 93li ein Theil von 93^, der gleichfalls stetig und

nach der in 9Ji geltenden Ptegel messbar ist, so ist 53ii

mit 93? identisch.

Der Beweis ergiebt sich folgendermaassen :

1. Ist 93li von 93i verschieden, so giebt es in Wl Elemente a, die kleiner sind als alle Elemente von !}3li.

Denn sei a ein nicht in 'D3?i enthaltenes Element von W. Wenn es in 93?i Elemente giebt, die kleiner als a sind, so bringt a einen Schnitt (^i, JB-^) in 93?i hervor, den man erhält, wenn man alle Elemente von 93^1, die kleiner als a sind, in Ay aufnimmt, die anderen in B^. Dieser Schnitt muss aber wegen der voraus- gesetzten Stetigkeit von 93ti auch durch ein Element a^ in 93ti erzeugt werden, und weil 93?i ein Theil von 931 ist, so muss «i auch in 93? vorkommen. Wenn aber a nicht in 93?i vorkommt, so sind a und a^ von einander verschieden, und kein zwischen a und «i gelegenes Element von 93? kann zu 93?i gehören. Denn ist z. B. a <^ a^, und h^ ein Element von 93?i , was der Bedingung ci <^hi <i tti genügt, so müsste &i, weil es kleiner als a^ ist, zu Ai, und weil es grösser als a ist, zu B^ gehören.

Folglich giebt es kein Element in 93?i , was kleiner ist als «1 — a (oder a — «J, w. z. b. w.

2. Wir bestimmen nun einen Schnitt (J., B) in 93? so, dass in B alle Elemente von 93? aufgenommen werden, von denen ein Element in 93?i erreicht oder übertroäen wird, nach A also nur die Elemente «, die kleiner sind als alle Elemente von 93?i. Dieser Schnitt werde durch das Element a in 93? erzeugt. Ist dann a' irgend ein Element in 93?, und a' ^ u, so giebt es zwischen a und a' immer ein und folglich auch beliebig viele Elemente von 93?i, während es in 93?i kein Element giebt, was kleiner als a ist. Nimmt man nun

Nicht messbare Mengen. H

a' — a <C a, a <; «i << cio <; a\ worin a^, 02 zwei von einander verschiedene Elemente von ^Jti sind, so ist «3 — ai << a, und doch ist, wegen der Messbrakeit, die Differenz a^ — «i in 93^1 enthalten, worin ein Widerspruch liegt. Es giebt also in 93Z kein Element, was nicht auch in 9Jii enthalten wäre.

Der zuletzt bewiesene Satz gilt nicht mehr für stetige Mengen, denen die Messbarkeit nicht zukommt. Um dies an einem Bei- spiel zu zeigen, nehmen wir die oben definirte Mannigfaltigkeit © der Schnitte «, und fügen noch ein mit 0 zu bezeichnendes Element hinzu, welches kleiner sein soll als alle a. Diese Menge bezeichnen wir mit 5(i. Hierauf wird eine neue Menge ^2 con- struirt, die aus den Paaren f«, ß) besteht, worin a und ß je ein beliebiges Element aus ?Ii darstellen. Diese Elemente werden so geordnet, dass die kleineren a den grösseren « vorangehen, während bei gleichen a die Elemente mit kleineren ß vorangehen. Die Menge 5Io enthält hier, wenn wir u = f«, 0) annehmen, die Menge 5(i, ohne mit ihr identisch zu sein. Die Stetigkeit kommt hier beiden Mengen zu, nicht aber die Messbarkeit.

Ebenso kann man noch reichere Mengen ^^ bilden, die aus den Elementen (m, ß, y) bestehen, worin jedes der Zeichen a, ß, y die Elemente von XHj durchläuft, u. s. f.

Ein anderes lehrreiches Beispiel einer stetigen, nicht mess- baren Menge erhält man, wenn man auf einer geraden Linie, etwa von links nach rechts auf einander folgend, drei feste Punkte a, b, c annimmt, und dann die Menge 53^ der Punkte dieser Geraden betrachtet, die links von a und rechts von c liegen, und den einen zwischenliegenden Punkt h hinzufügt. Hier ist sogar in unserer räumlichen Anschauung eine Lücke von endlicher Ausdehnung vorhanden i). Dass diese Menge trotzdem noch als eine stetige bezeichnet wird, rechtfertigt sich, wenn man die ent- sprechende ^Mannigfaltigkeit in der Zahlenreihe aufsucht.

Wir greifen aus der Menge © eine Theilmenge ©1 heraus, indem wir alle Schnitte « < 1 und /3 > 3 und ausserdem die Zahl 2 in <Bi aufnehmen.

1) Auf diese Art stetiger Mengen hat mich G. C a n t 0 r aufmerksam gemacht.

12 Einleitung.

Die Elemente von Bi haben eine durch © bestimmte Ord- nung, und man kann die Elemente von (Si in völlig eindeutiger Weise auf die Elemente von © beziehen, so dass die Ordnung gewahrt bleibt. Man ordne nämlich die Elemente « << 1 in Si denselben Elementen in S zu, das Element 2 in <Bi dem Element 1 in S, jedes Element /3 >> 3 in (2i dem Element ß — 2 in ©. Es haben dann, wenn man von © zu ©j übergeht, die Elemente gewissermaassen nur andere Namen erhalten.

Wir gehen nun über zu der Definition der Verhältnisse, die von Alters her als Grundlage der Zahlenlehre betrachtet werden, und folgen dabei zunächst Euklid^).

Wenn man die Elemente einer stetigen messbaren Menge 5Ji zu Paaren verbindet, und diese Paare an sich als Elemente be- trachtet, so entsteht eine neue Mannigfaltigkeit; wir bezeichnen

ein solches Paar mit a : h, oder auch mit -r-, unterscheiden aber,

wenn a und b verschiedene Elemente sind, a : b von ö : a, und nennen a den Zähler und b den Nenner von a : b. Diese Paare wollen wir Verhältnisse nennen und wollen diese neue Menge nun ordnen und messbar machen.

Nehmen wir zunächst an, dass zwei ganze Zahlen >», oi exi- stiren, so dass na = mb wird, wie es z. B. immer der Fall ist, wenn «, b zwei natürliche Zahlen oder zwei commensurable Strecken sind; dann ist, wenn p, q zwei andere ganze Zahlen sind, dann und nur dann qa = pb, wenn mq = np ist. Denn aus na = mb folgt qua = qmb, und wenn also qa = pb ist, pnb =-- qmb, und folglich pn = qin. Das Zahlenpaar p^ q ist durch diese Forderung vollständig bestimmt, wenn noch die Be- dingung hinzukommt, dass p^ q relative Primzahlen sein sollen. Dann kann, wenn li eine beliebige ganze Zahl ist, m = hp, n = hq sein. In diesem Falle nennen wir das Verhältniss a : b ein rationales und setzen es gleich dem rationalen Bruch m : n oder p : q. Diese rationalen Brüche können hiemach als Ver- hältnisse ganzer Zahlen aufgefasst werden.

Alle unter einander gleichen rationalen Verhältnisse bilden eine rationale Zahl, und die rationalen Zahlen bilden, wie die ratio- nalen Brüche, eine geordnete, dichte und messbare Mannigfaltigkeit.

1) Elemente, Buch V.

Verhältnisse. 13

In die Mannigfaltigkeit der rationalen Zahlen ordnen sich die natürlichen Zahlen selbst mit ein, wenn man unter einer natürlichen Zahl m das Verhältniss m : 1 versteht.

Wir kehren jetzt zu irgend einer messbaren Mannigfaltigkeit W zurück und nehmen aus ihr irgend zwei Elemente a und h. Wählt man, was immer möglich ist. zwei natürliche Zahlen m, w, so dass na ^ tnh, so heisst das Verhältniss a : h grösser als das rationale Verhältniss m : n oder

a m

und wenn m : n ^ p : q, so ist auch a : h ^ p : q. Ebenso folgt, wenn n' a <i m'h ist,

a , m'

Ist « : 6 >> 7W : »i, so kann man eine und folglich auch be- liebig viele rationale Zahlen tn^ : Wj fiaden, so dass

ist, d. h. man kann zwischen a : b und m : n beliebig viele

rationale Verhältnisse einschalten. Um dies zu zeigen, wähle

man eine beliebige ganze Zahl Tc und bestimme die ganze Zahl h

so, dass h {n a — mb) >. Je b wird, was immer möglich ist;

dann ist

a hin -^ Je m

b Jm n

Und ebenso folgt, wenn n' a <C ni' b, Ji' (m' b — w' a) > Je' a ist, a Ji' m' m'

T ^ li' n' + Je' "^ »7*

Wenn nun a : b und « : ß irgend zwei Verhältnisse sind, die wir der Kürze wegen auch mit e, £ bezeichnen wollen, deren Elemente derselben oder auch verschiedenen Mannigfaltigkeiten angehören, so sind zwei Fälle möglich: 1) Es liegt kein ratio- nales Verhältniss ^ zwischen e und £, oder 2) es liegt ein ratio- nales Verhältniss zwischen e und s.

Im Falle 1) heissen die beiden Verhältnisse e und e ein- ander gleich, und man sieht, dass zwei Verhältnisse, die einem dritten gleich sind, auch unter einander gleich sind; denn ist e <; ft < £, so ist jedes andere Verhältniss e' entweder kleiner oder gleich oder grösser als ^. Ist e' gleich ^, so liegen so-

14 Einleitung.

wohl zwischen e und e' als zwischen e' und £ rationale Verhält- nisse. Ist aber e' kleiner als ft, so liegt \i zwischen e' und £, und ist e' grösser als ft, so liegt \i zwischen e und e'; also kann e' nicht zugleich gleich e und gleich a sein.

Im Falle 2) heissen die Verhältnisse e, £ ungleich. Es kann also entweder «j e <; ft <; £ oder /3) e ^ /x.' >> £ sein, und diese beiden Fälle schliessen sich aus, weil aus e <; ^ <[■ £, £ << ^' folgt, dass fi << ft', und folglich e <i fi' ist.

Die Grössenbeziehung 2 aj oder 2 ß) bleibt auch bestehen, wenn e oder £ durch ein ihm gleiches Element ersetzt wird. Denn ist a <: £ und ^ ^ s\ so liegt zwischen £ und e' ein rationales Verhältniss und £, a' sind nicht gleich.

Im Falle 2 a) heisst e kleiner als £, im Falle 2 ß) heisst e grösser als £.

Zwischen zwei ungleichen Verhältnissen kann man eine be- liebige Anzahl rationaler Verhältnisse einschieben.

Wenn wir nun alle unter einander gleichen Verhältnisse zu- sammenfassen, so erhalten wir einen Gattungsbegriff, den wir als Zahl im allgemeinen Sinne des Wortes bezeichnen. Die Zahl ist also ein Name oder Zeichen für eine gewisse Mannigfaltigkeit, deren Elemente eben die mit einem unter ihnen gleichen Ver- hältnisse sind 1). Unter diesem Zahlbegriff sind die rationalen Verhältnisse und folglich auch die natürlichen Zahlen als die Verhältnisse m : 1 mit enthalten und bilden die rationalen Zahlen.

Zahlen, die nicht aus rationalen Verhältnissen entspringen, heissen irrationale Zahlen.

Nach dem, was bis jetzt ausgeführt ist, bilden die Zahlen eine geordnete Menge, und man kann ihre Ordnung fest- stellen, wenn für jede Zahl irgend eines der darunter enthal- tenen \'erhältnisse als Repräsentant gewählt wird.

Von zwei Verhältnissen mit demselben Nenner und un- gleichen Zählern ist das das grössere, dessen Zähler grösser ist, und Yon zwei Verhältnissen mit demselben Zähler und ungleichen Nennern ist das das kleinere, dessen Nenner grösser ist.

^) Auf den Gattungsbegriff lassen sich auch die natürlichen Zahlen in einfacher und folgerichtiger "Weise zurückführen.

Zahlen. |5

Sind nämlich a, a\ b beliebige Elemente einer messbaren Menge und a' ':> a, so wähle man zunächst eine ganze Zahl n so , dass na :> b und n {a' — a) > b. Hierauf nehme man die kleinste ganze Zahl m, die der Bedingung mb ":> na ge- nügt; dann ist na < mb, aber mb <Z na'. Denn wäre mb ^ na' ^ na -\- n (a' — a), so wäre mb > na -\- b\ also wäre gegen die Voraussetzung schon (m — 1) 6 > na. Dann ist

a m a' b n b

also a:b <: a' -.b; und ganz ebenso kann man beweisen , dass, wenn b' > b ist, a : b ^ a : b' wird.

Man drückt diesen Satz auch so aus, dass ein Verhältniss zugleich mit dem Zähler wächst und mit wachsendem Nenner abnimmt.

Hieraus ergiebt sich auch leicht der folgende Satz: Sind a, 6, c, d Elemente derselben messbaren Menge und ist a : b = c : d, so ist auch a : c ::^ b : d.

Denn angenommen, es wäre a : c <Z b : fZ, so müsste es zwei ganze Zahlen »t, n geben, so dass

n a <Z ni c n b > m d.

Dann aber wäre nach dem eben bewiesenen Satze na : nb <z. nie : md, also auch a : b <Z c : d, entgegen der Voraussetzung.

Hieran schliesst sich nun folgender Hauptsatz. Wenn von den vier Grössen a, &, c, d irgend drei aus einer stetigen messbaren Menge beliebig gegeben sind, so lässt sich die vierte in derselben Menge so bestim- men, dass a : b = c : d ist.

Der Satz ist eine unmittelbare Folge der vorausgesetzten Stetigkeit. Denn wenn man z. B. ein Element x von 53i in Ä oder in B aufnimmt, je nachdem x : b kleiner oder grösser als c : d ist, so erhält man einen Schnitt, der durch ein Element a erzeugt wird, das der Bedingung a : b ■= c : d genügt. Es gilt aber dieser Satz auch in gewissen nicht stetigen Mengen, z. B. für die rationalen Brüche.

Hieraus folgt, dass man als Repräsentanten zweier Zahlen immer zwei Verhältnisse wählen kann, deren Elemente derselben Mannigfaltigkeit angehören, und die denselben beliebig zu wählen- den Nenner haben. Die Addition wird dann so erklärt, dass

16 Einleitung.

a , h a 4

c c c

ist. Diese Regel umfasst als speciellen Fall die Addition der rationalen Brüche, und um sie allgemein zu rechtfertigen, braucht dann nur noch gezeigt zu werden, dass, wenn a : c = a' : c' und h : c = h' : c\ auch (a -^ b) : c = (a' -\- b') : d sein muss. Wir beweisen dies, indem wir zeigen, dass, wenn a : c = a' : c' und (a -|- &) : c >> («' -|- h') : c' ist, auch h : c ^ h' : c' sein muss. Es sei also, wenn m und n zwei ganze Zahlen sind,

a -\- b in a' -\- b' c~ ^n^ c' '

dann ist n (a -\- b) j> mc und m c' ^ n a' -I- b. Dann ist um so mehr m c' >> n a' und wegen a : c = a' : c' auch m c ^ na. Es ist also auch

b mc — n a m c' — n a' V

c nc ^ nc' c'

Andererseits folgt aber leicht aus der Voraussetzung a : c = a' : c', dass auch

ni c — na m c' — na'

nc nc'

ist, also b:c ^ b' -.c^ w. z. b. w.

Hiermit ist also nachgewiesen, dass auch die Zahlen, wie wir sie detinirt haben, eine messbare Menge bilden. Sind a und c einer stetigen Mannigfaltigkeit entnommen, so bilden auch bei feststehendem c die Verhältnisse a : c eine stetige Menge und es folgt also, da es überhaupt stetige Mengen giebt, dass auch die Zahlen eine stetige Menge bilden.

Sind a, ß, 7, Ö jetzt Zahlen, so kann man aus der Proportion a: ß = y.d eine beliebige der vier Zahlen durch die drei anderen gegebenen bestimmen. Setzt man ö = 1 und sucht a, so erhält man die Multiplication u^=ß'y, und die Vertauschbarkeit der Factoren ist eine Folge des Satzes, dass a:y = ß:d aus u : ß = y.d folgt. Sucht man y, so erhält man die Division; und aus der oben gegebenen Definition der Addition folgt die Grund- formel a(ß-{-y) = uß-\-uy. Die vier Grundrechnungsarten sind also in dem Gebiete der Zahlen ausführbar mit der einzigen Beschränkung, dass bei der Subtraction der Subtrahend kleiner sein muss als der Minuend.

Zahlenreihen. 17

Die Construction eines Schnittes in der Reilie der Zahlen liefert stets den Beweis für die Existenz einer Zahl, die hestimmten Anforderungen genügt. So erhält man einen Schnitt (J., B), wenn man alle und nur die Zahlen, deren Quadrat kleiner als eine bestimmte Zahl « ist, in Ä aufnimmt; diesem Schnitt ent- spricht eine bestimmte Zahl, deren Quadrat gleich a ist und die

mit V« bezeichnet wird, und dadurch wird die Existenz der Quadratwurzeln nachgewiesen.

Auf die Schnitte lassen sich auch die von G. Cantor zur Definition der Irrationalzahlen eingeführten Zahlenreihen zurückführen i).

Nach Cantor ist unter einer Zahlenreihe irgend ein un- begrenztes, in bestimmter Weise geordnetes System von Zahlen zu verstehen:

O *^li *^^^ *^3i *^A • • •

von der Beschaffenheit, dass es eine bestimmte Zahl g giebt, unter die keine der Zahlen S heruntersinkt, und dass, wenn d eine beliebig gewählte Zahl ist, und Xn^ x,n verschiedene Ele- mente aus S sind, Xn — x,n oder x,,, — Xn immer kleiner bleibt als d, wenn tn und n eine hinlänglich grosse Zahl überschritten haben.

Es giebt immer Zahlen, die von den Zahlen einer solchen Reihe nicht überschritten werden; denn hat man d gewählt und n passend bestimmt, so überschreitet x„i, welchen Werth auch m haben mag, niemals die grösste der Zahlen x^, x^ ... Xn, Xn -\- ö. Andererseits giebt es auch Zahlen, die von unendlich vielen Xn überschritten werden, z. B. jede Zahl, die kleiner ist als (/. Man erhält nun einen Schnitt (Ä, J5), wenn man die Zahlen nach B wirft, die, wenn n einen hinlänglich hohen Werth hat, von keinem Xn mehr überschritten werden (die also von keinem oder nur von einer endlichen Anzahl von Xn über- schritten werden), und alle anderen Zahlen (die also von unend- lich vielen rr„ überschritten werden) nach Ä. Wird dieser Schnitt durch die Zahl a erzeugt, so giebt es, wie klein auch s sei, immer unendlich viele Zahlen Xn zwischen « — s und a, und man kann sagen, dass diese durch S vollkommen bestimmte Zahl

1) Cantor, Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen. Mathematische Annalen, Bd. 5 (1872); vergl. auch Heine, Elemente der Functionenlehre. Journal für Mathematik, Bd. 74 (1872).

Weber, Algebra. I. , 2

18 Einleitung.

« durch die Zahlenreihe S erzeugt wird. Nach Cantor ist die Zahlenreihe S geradezu die Definition der Zahl a. Selbstver- ständlich kann eine und dieselbe Zahl a durch sehr verschiedene Zahlenreihen erzeugt werden. Diese Zahlenreihen sind aber alle als unter einander gleich zu betrachten. Man kann unter Anderem die Zahlen von S alle als rationale Brüche annehmen. Es lässt sich auch umgekehrt leicht nachweisen, dass man zu jeder gegebenen Zahl a immer Zahlenreihen S angeben kann, durch die a erzeugt wird, so dass also die Gesammtheit der Zahlen- reihen S gleichfalls eine stetige Menge bildet.

Bei der Erklärung der Grundrechnungsarten hat sich bei der Subtraction eine unbequeme Beschränkung ergeben, von der wir uns frei machen durch Einführung der Null und der nega- tiven Zahlen.

Es möge X jedes Element des bisher definirten Zahlensystems bedeuten, das wir jetzt als das System der positiven Zahlen bezeichnen wollen. Wir nehmen dies Zahlensystem ein zweites Mal und bezeichnen zum Unterschied in diesem zweiten System, das als das System der negativen Zahlen bezeichnet werden soll, jedes Element mit — x. Das zweite System ordnen wir nun dem ersten gerade entgegengesetzt, so dass überall, wo in dem System x „grösser" steht, in dem System — x „kleiner" gesetzt wird, und umgekehrt. Addition und Subtraction werden in — x ebenso erklärt wie in x, so dass ( — x) -\- ( — y) =" — (^ ~{~ V)'^ ( — x) — ( — y) = — (^ — y) sein soll.

Wir wollen aber diese beiden Zahlensysteme in der Weise zusammenordnen, dass jedes — x kleiner sein soll als jedes x. Wir erhalten so eine geordnete Menge, in der kein grösstes und kein kleinstes Element vorhanden ist. Dieses System ist auch im Allgemeinen stetig, nur der einzige Schnitt ( — x, x) wird durch kein Element erzeugt, und hier, wo beide Systeme zu- sammenstossen, ist also noch eine Verletzung der Stetigkeit vor- handen. Um die Stetigkeit herzustellen, müssen wir also dem Schnitt ( — X, x) entsprechend noch eine Zahl Null oder 0 hinzufügen, die eben durch diesen Schnitt definirt ist. Dann haben wir eine geordnete stetige, beiderseits unbegrenzte Menge, die vollständige Reihe der reellen Zahlen.

In dem so erweiterten Zahlenbereiche erklären wir nun die Addition allgemein, indem wir detinitionsweise setzen:

Negative Zahlen. 19

X -j- {— x) = 0, X -{- 0 = X,

X -\- {— y) = X — y, wenn x :> y, = — (y — x), wenn y > x.

Bei dieser Erklärung der Addition gelten, wenn ^j , z^_, z-^ irgend drei Zahlen des ganzen Zalilenbereiches sind, die Gesetze :

^1 + ^2 = ^2 + ^1, (^I + ^2) + ^3 = ^1 + (^2 + ^3),

die man das commutative und das associative Gesetz nennt. Man bildet die Summe aus einer beliebigen Anzahl von Summanden, indem man nach Belieben der Reihe nach je zwei Summanden zu einer Summe vereinigt. Die Subtraction braucht nicht mehr besonders berücksichtigt zu werden, wenn man z-^ — s^ durch ^1 -j- ( — ^2) erklärt und — ( — z) =^ s setzt.

Man stellt die Zahlenreihe anschaulich durch Punkte dar, indem man von einem festen mit 0 bezeichneten Punkte einer geraden Linie die positiven Zahlen als Strecken nach der einen, etwa der rechten, die negativen Zahlen nach der anderen (linken) Seite aufträgt. Das Bild der Summe zweier Strecken z^ -j- s^ erhält man, wenn man von dem Punkte ^^ aus die Strecke von der Länge + z^ nach der rechten oder nach der linken Seite abträgt, je nachdem z^, positiv oder negativ ist.

Die Multiplication und Division wird in dem erweiterten Zahlenbereich durch die Gleichungen

^ i—y) = (— -») y = — xy

(—x) i—y) = xy, Oa; = 0

erklärt. Die Division als die Umkehrung der Multiplication ist immer möglich, ausser wenn der Divisor Null ist.

. Für ein Product aus mehreren Factoren und für den Quo- tienten zweier solcher Producte gilt der Satz, dass sein Werth positiv oder negativ ist, je nachdem die Anzahl der überhaupt darin (im Zähler und Nenner) vorkommenden Factoren gerade oder ungerade ist.

Eine fernere Erweiterung des Zahlbegriffes besteht in der Einführung der com plexen Grössen. Wir combiniren je zwei Zahlen der gesammten Zahlenreihe zu Paaren {x, y), und be- trachten zwei solche Paare {x, y) und (a, h) nur dann als gleich, wenn x = a, y =^ h ist. Diese Zahlenpaare bilden eine Mannig- faltigkeit, deren Elemente zwar nicht geordnet werden, mit denen aber die Rechenoperationen der Addition, Subtraction,

20 Einleitung.

Multiplication und Division vorgenommen werden sollen, nach folgenden Regeln. Es sei

(^; y) + ^«1 ^) = (^ + «^ y + ^J-

{x, ij) (a, h) = {xa — ijh, xh -[- ya).

und wir setzen ausserdem fest, dass (x. 0) = x sei, was diesen Gleichungen nicht widerspricht. Es ist (x, y) nur dann = 0, wenn x und y beide gleich Null sind. Ferner bezeichnen ^dr zur Abkürzung (0, 1) mit i. Dann ergeben obige Gleichungen die Folgerungen:

fr, 0) (0, l) = (0, X) oder = ir, (r, 0) -^ (0, y) = {x, y) = X -f 2/«.

^ + 2/^' + ^ -^ ^^' = (^ + ^0 + (2/ + ^)' und die Umkehrung der Addition:

X -\- yi — (a 4- bi) = (x — a) -^ i{y — h),

ferner die Multiplication:

{x -^.yi) (a -\- bf) = xa — yb -^ i(xb -\- ya). i- = — 1,

{x + yi) {x — yi) = x'- + y'^.

oder

, • f , 1 •\ ((^ — bi) (x -^ yi) ^ + 2" = (« + «") (a^ + b^

X -\- yi ax -^ by -\- i (ay — bx)

a -{-bi ~ «2 _[_ ^,2 '

wodurch die Division erklärt ist, ausser wenn a -j- ü = 0 ist. Zahlen von der Form ix heissen rein imaginäre Zahlen und / die imaginäre Einheit. Eine Zahl ix soll positiv oder negativ imaginär heissen, je nachdem x positiv oder negativ ist. Die Zahlen a -j- bi heissen imaginär oder complex. Das System der reellen und der rein imaginären Zahlen sind darunter als Specialfälle enthalten.

Es sind also in dem Gebiete der complexen Zahlen X -\- yi die Grundrechnungsarten unbegrenzt auszuführen (mit Ausnahme der Division durch Null), und die Rechnung mit den reellen Zahlen ist ein Specialfall davon.

Man stellt die complexen Zahlen z ^= x -\- yi nach Gauss geometrisch durch die Punkte einer Ebene dar, indem man ein rechtwinkliges Coordinatensystem zu Grunde legt und den Punkt mit den Coordinaten r, y als Bild des Zahlwerthes s betrachtet. Die Punkte der Ä;-Axe stellen in der oben besprochenen Weise

Imaginäre Zahlen. 21

die reellen Zahlen x dar. Die Punkte der ?/-Axe sind die Bilder der rein imaginären Zahlen yi. Der Coordinatenanfangspunkt ist das Bild der Zahl 0. Der Radius Yector vom Nullpunkte nach dem Punkte z hat den Zahlwerth q = V^^~4-^, und wird der absolute Werth oder der Betrag oder, nach älterer Ausdrucks- weise, der Modulus der complexen Zahl z genannt.

Die einzige Zahl 0 hat den absoluten Werth 0. Jede positive Zahl kommt bei unendlich vielen complexen Zahlen als absoluter Werth vor und die Bildpunkte aller Zahlen mit demselben abso- luten Werthe liegen auf einem Kreise, dessen Mittelpunkt im Coordinatenanfangspunkte liegt.

Zwei imaginäre Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen von i unterscheiden, also x -\- yi und x — yi, heissen conjugirt imaginär. Ihr Product ist das Quadrat des absoluten Werthes von jeder von ihnen.

Wenn von zwei conjugirt imaginären Zahlen die eine gleich Null ist, so ist auch die andere gleich Null, und man kann also in jeder richtigen Zahlengleichung i durch — i ersetzen, ohne dass die Richtigkeit gestört wird.

Wir wollen noch den oft angewandten Satz anführen, dass der absolute Werth einer Summe zweier von Null verschiedener complexer Zahlen niemals grösser ist, als die Summe der abso- luten Werthe der Summanden, und nur dann gleich, wenn das Verhältniss (der Quotient) beider Summanden reell und positiv ist. Sei nämlicli

z = X -\- yi, c = a -\- hi, Z = {x -^ a) -\- {y -\- h)i, q2 = x^ -j- %j\ r- = a^ + b^ R^ = {x + ay -f (y + ^)-, dann ist (r-\-Q — R){ri-Q-^R) = (r+Qy-R^ = 2irQ — ax — hyy,

das ist sicher positiv, wenn ux -\- by ^ 0 ist. Wenn aber ax -\- by ^ 0 ist, so folgt aus

r2^2 _ (^ax -\- byy = {ay — bxy, dass rQ ^ ax -\- by ist, und nur dann gleich, wenn ay — bx = 0. Daraus also ergiebt sich, dass r -j- (> >> i? ist und nur in dem besonderen Falle r -\- q = R, wenn ay — bx = 0, ax -\- by '^ 0, woraus das Gesagte folgt.

Bei der geometrischen Darstellung ist dieser Satz ein Aus- druck dafür, dass in einem Dreieck eine Seite kleiner ist, als die Summe der beiden anderen. Der Satz hat noch die andere

22 Einleitung.

Folge, dass der absolute Werth einer Summe nicht kleiner sein kann, als die Differenz der absoluten Werthe der Summanden. Denn wenden wir den vorigen Satz auf die Summe c = Z — z an, so folgt r ^ it -}- 9 oder

Fl ^ r — Q.

Die Gleichheit findet hier nur dann statt, wenn der Quotient 3 : c reell und negativ ist.

'O^

Es ist noch ein Wort über das wichtigste Hülfsmittel der Algebra, die Buchstabenrechnung, zu sagen. Die Anwendung dieses Hülfsmittels ist so allgemein, dass man bisweilen das Wort Buchstabenrechnung geradezu synonym mit Algebra gebraucht. Die Regeln , wie mit solchen Buchstabenausdrücken gerechnet wird, setzen wir als bekannt voraus. Gleichungen zwischen Buchstabenausdrücken können von zweierlei Art sein ; entweder es sind sogenannte Identitäten, d. h. die zwei einander gleich gesetzten Ausdrücke können durch Anwendung der Rechenregeln so umgeformt werden, dass beide Ausdrücke genau überein- stimmen. Man erhält dann aus solchen Buchstabengleichungen richtige Zahlengleichungen, wenn die Buchstaben durch irgend welche, sei es reelle, sei es complexe Zahlen ersetzt werden, vorausgesetzt, dass dabei nicht die Forderung der Division durch Null auftritt. Die Buchstaben in solchen Gleichungen werden oft auch als Varial^le bezeichnet, weil man sich vorstellen kann, ohne je zu einem Widerspruch zu gelangen, dass für die Buch- staben nach und nach andere und andere Zahlwerthe gesetzt werden.

Eine andere Art von Gleichungen zwischen Buchstabenaus- drücken haben nicht diesen Charakter der Identität. Sie enthalten vielmehr eine Forderung, die an solche Zahlen gestellt wird, die man, ohne die Gleichungen unwahr zu machen, für die Buch- staben einsetzen darf. Die Algebra hat die Aufgabe, Zahlwerthe zu ermitteln, die einer solchen Forderung genügen, die Gleichung zu lösen. In diesen Gleichungen werden die Buchstaben auch als „Unbekannte" bezeichnet. Es kommen sehr häufig in ein und derselben Gleichung Buchstaben von zwei Arten vor, solche, für die beliebige Zahlwerthe gesetzt werden sollen, und andere, deren Zahlwerth erst ermittelt werden soll.

ERSTES BUCH.

DIE GRÜNDLAGEN.

Erster Abschnitt. Rationale Functionen.

§. 1- Ganze Functionen,

Nächster Gegenstand der Betrachtung sind ganze rationale oder auch kurz ganze Functionen einer Veränderlichen. Wir verstehen darunter Ausdrücke von folgender Form:

(1) f{x) = aox'' + «lic»-! + a^x"-'- -\ \- cin-iX + «,,,

worin n ein ganzzahliger Exponent, der Grad der Function f{x) ist. Der Grad ist eine natürliche Zahl. Bisweilen ist aber auch nützlich, von ganzen rationalen Functionen Oten Grades zu sprechen, worunter ein von x unabhängiger Ausdruck verstanden wird. X heisst die Veränderliche, «qi '-hi '^2 • • • «n— 1, «h che Co ef fielen ten. Sowohl x als %, a^ . . . an sind Symbole für unbestimmte Grössen, mit denen nach den Regeln der Buch- stabenrechnung verfahren wird, für die auch unter Umständen bestimmte Zahlwerthe gesetzt werden können (vgl. die Einleitung). Wenn die Function f{x) in der Weise wie in (1) geschrieben ist, so nennen wir sie nach absteigenden Potenzen von x geordnet. Die Summanden können in jeder beliebigen anderen Reihenfolge angeordnet, also z. B. auch nach aufsteigenden Po- tenzen von X geordnet sein :

f{x) = an + an-ix + • • • + «1^""^ + «0^"- Durch Addition (Subtraction) und Multiplication ganzer rationaler Functionen entstehen wieder ganze rationale Func- tionen. Die Vorschriften der Buchstabenrechnung geben un- mittelbar die Bildungsgesetze dieser neuen Functionen.

Bei der Addition ist der Coefficient irgend einer Potenz x" in der Summe gleich der Summe der Coefficienten von x'' in den einzelnen Summanden. Der Grad der entstandenen Function ist

26 Erster Abschnitt. §. 1.

gleich dem höchsten der Grade der Summanden und kann sich nur in dem besonderen Falle erniedrigen, wenn der höchste Grad in mehreren Summanden vorkommt und die Summe der Coefficieuten der höchsten Potenzen gleich Null ist.

Bei der Multiplication zweier oder mehrerer ganzer rationaler Functionen entsteht eine Function, deren Grad gleich der Summe der Grade der Factoren ist.

Um für das Product das Bildungsgesetz der Coefficieuten zu übersehen, setzen wir

, A(x) = üoX'" -f ciiX"'-'^ -f- «2ä:'"-2 4- . . .,

^^ B{x) = boOf' 4- ^1^"-' + ^2«"-' -h • • •.

(3) Ä{x)B(x) = C{x) = c^x"' + " + Ci^'" + "-i 4- C2X"' + »-^ J

und erhalten

C() = ftfj Oq,

Ci = cio hl -f- «1 ^01

6-2 = «0^2 + «1^1 + «2^01

oder in allgemeinen Zeichen, wenn v eine der Zahlen 0. 1, 2 . . .

m -f- n bedeutet:

(4) Cv = «o&v + «i&v-i + a^hv-i + • • • ay-i\ + a, &o- worin alle a, deren Index grösser als m^ und alle &, deren Index grösser als n ist, gleich Null zu setzen sind. Denn c,. ist der Coefficient von :r'" + "-', und es entsteht also c,.a;'" + "— *' durch Multiplication aller Glieder von der Form «uä;'"""" mit allen Gliedern der Form &»— .ua^"~'' + " und darauf folgende Addition. Sind «0 und &o = li so ist auch Co = 1.

Hat in allen Factoren eines solchen Productes die höchste Potenz von x den Coefficienten 1, so ist auch im Product der Coefficient der höchsten Potenz = 1.

Aus diesen Vorschriften für die Ptechnung mit ganzen Func- tionen folgt, dass die Regeln des Rechnens, die sich in Formeln wie ah = ha^ {ah)c = a(hc), (a -|- ö)c = ac -\- hc und ähn- lichen aussprechen, auch wenn a, &, c ganze Functionen von x sind, gelten, und zwar in dem Sinne, dass ganze Functionen nur dann als gleich gelten, wenn gleich hohe Potenzen gleiche Coeffi- cienten haben.

Unter ganzen Functionen mehrerer Veränderlichen verstehen wir Summen von Producten von ganzen, positiven Potenzen der Veränderlichen x^ y^ z . . . mit irgend welchen Coefficienten, die

§. 2. Rationale Functionen. 27

als constaut gelten. Man kann sich diese Functionen entstanden denken aus den Functionen einer Veränderlichen x, wenn man darin die Coefficienten Oq, «i ... a„ selbst wieder als ganze rationale Functionen von anderen Verhältnissen ?/, z . . . auf- fasst. So entstehen Functionen von m Veränderlichen aus Func- tionen von m — 1 Veränderlichen. Alle Glieder einer solchen Function sind von der Form x''if z^ . . ., multiplicirt mit einem Coefficienten, und wenn die Function gehörig zusammengefasst ist, so kommt jede Combination der Exponenten r, s, ^ . . . nur einmal vor. Zwei so geordnete ganze Functionen gelten nur dann als einander gleich, wenn sie dieselben Producte x'^ if z* . . . mit denselben Coefficienten enthalten; und eine geordnete ganze Function ist nur dann gleich Null, wenn alle ihre Coefficienten verschwinden.

§. 2. Ein Satz von Gauss.

Wir wollen sogleich eine Anwendung der Multiplicationsregel zweier ganzer rationaler Functionen machen zum Beweise eines Satzes von Gauss, der uns später noch nützlich sein wird, hier aber zur Einführung in die Rechnungsweise und als Beispiel dienen soll ^).

Wir betrachten hier den Fall, dass die Coefficienten in den Functionen Ä(x), B{x) ganze Zahlen sind, so dass nach (4) auch die Coefficienten von C{x) = A{x)B{x) ganze Zahlen sind.

Wenn die sämmtlichen ganzzahligen Coefficienten «oi «n • • • «»i einer Function A{x) keinen gemeinschaftlichen Theiler haben, so heisst die Function A{x) eine ursprüngliche oder primitive Function, und der Satz, den wir beweisen wollen, lautet:

Wenn A{x) und B {x) ursprüngliche Functionen sind, so ist auch ihr Product C{x) eine ursprüngliche Function.

Der Beweis ergiebt sich fast unmittelbar aus dem Anblick der Formel (4), §. 1.

Wenn nämlich die sämmtlichen Coefficienten Co, Cj, C2... Cm + n-, wie sie dort angegeben sind, einen gemeinschaftlichen Theiler haben, der grösser als 1 ist, so muss es auch wenigstens eine

1) Gauss, Disquisitiones arithmeticae, Art. 42.

28 Erster Abschnitt. §. 2.

Primzahl geben, die in allen diesen Coefficienten aufgeht. Es sei i) eine solche Primzahl; diese kann nach der Voraussetzung, dass A (rr), B {x) ursprünglich seien, weder in allen ao, «i . . . «w, noch in allen 60, \ ... &„ aufgehen. Es möge nun p aufgehen in :

«0? % • • • "r— 1, aber nicht in a^, in

^0, hl . . . hs—i, aber nicht in &«,

dann ist nach Voraussetzung r ^ m und kann auch gleich Null sein, wenn p schon in «o nicht aufgeht. Ebenso ist s <C n.

Bilden wir nun nach (4) Cr + s und ordnen es in folgender Weise :

-\- ar-\-\Os — x -\- ar + 20s — 2 "f" ' * *

so sieht man unmittelbar, dass Cr + s nicht durch p theilbar sein kann, wie doch angenommen war; denn das erste Glied «,. &g ist durch 2^ nicht theilbar, während alle anderen Glieder, da sie mit einem der Coefficienten «o? «1 • • • ^r-i, ^o? ^1 • • • hg—i multiplicirt sind, durch ]) theilbar sind. Die Annahme also, dass C(x) nicht ursprünglich sei, während es Ä(x) und B(x) sind, führt zu einem Widerspruch.

Dieser Satz lässt sich übertragen auf Functionen von meh- reren Veränderlichen. Wir nennen eine ganze rationale Function von m Veränderlichen mit ganzzahligen Coefficienten ursprüng- lich oder primitiv, wenn die Coefficienten keinen gemeinsamen Theiler haben, und wir sprechen den Satz aus, dass das Pro- duct von zwei ursprünglichen Functionen wieder eine ursprüngliche Function ist.

Um seine Wahrheit einzusehen, brauchen wir nur in der oben durchgeführten Betrachtung die Coefficienten «o, «j, «2 • • • &o, &i, ^2 • • • nicht als ganze Zahlen, sondern als ganze rationale Functionen von ja — 1 Veränderlichen y^ z . . . anzunehmen und eine solche Function durch eine Primzahl p theilbar zu nennen, wenn alle ihre Coefficienten durch p theilbar sind. Setzen wir dann voraus, der zu beweisende Satz sei bereits für Functionen von /Lt — 1 Variablen be^viesen, dann ergiebt die Formel (1) seine Richtigkeit für Functionen von fi Variablen, also seine allgemeine Gültigkeit durch den Schluss der vollständigen In- duction oder den Schluss von /x — 1 auf ft.

§. 2. Eationale Functionen. 29

Durch dieselbe Betrachtungsweise schliesst man auch, dass ein Product von zwei oder mehreren ganzen Functionen nicht verschwinden kann, w^enn nicht einer seiner Factoren ver- schwindet. Denn eine verschwindende Function ist durch jede Primzahl jj theilbar.

Eine imprimitive Function ist eine solche, deren ganzzahlige Coefficienten alle einen gemeinsamen Theiler haben. Den grössten dieser Theiler nennen wir den Theiler der Function. Dann können wir den bewiesenen Satz auch so aussprechen:

Der Theiler eines Productes zweier ganzer Func- tionen ist gleich dem Product der Theiler beider Functionen.

Denn sind PÄ und QB zwei ganze Functionen mit den Theilern P und Q^ so sind A und B ursprüngliche Functionen. Also ist auch AB = C eine ursprüngliche Function und PQ ist der Theiler der Function PA . QB = PQC.

Wir können dem Satze, insofern er sich auf Functionen einer Veränderlichen bezieht, ohne seinen Inhalt wesentlich zu ändern, folgende Fassung geben, in der er besonders nützlich ist.

Sind

(jp {x) = a:'" -|- «1 iC'-i + a2:r'»-2 -\- '-'-{- k^

'^{X) = OC- -^ ß,X—^ + ß,X—^ H ^ ßn

zwei ganze rationale Functionen, in denen die höchsten Potenzen von x den Coefficienten 1 haben, während die übrigen Coefficienten rationale Zahlen sind, so können in dem Product q>(x)ilf(x) = a:"» + » -I- yia;'» + «-i + y2;r'" + "-2 -f . . . -|- y,„ + „

die Coefficienten y nicht alle ganze Zahlen sein, wenn die Coefficienten a, ß in q}{x) und ip{x) nicht alle ganze Zahlen sind.

Denn bezeichnen wir den kleinsten Hauptnenner der Coeffi- cienten a von q) mit «oi c^er Coefficienten ß von ^ mit öoi so sind ao(p{x) = A{x), 6o^(^") '= P{x) primitive Functionen von x. Ihr Product «q h^ cp (x) i^ (x) hätte, wenn die Coefficienten y ganze Zahlen wären , den Theiler a^ &o und wäre also , wenn üq und &o nicht beide gleich 1 wären, nicht primitiv; dies aber wäre ein Widerspruch mit dem oben bewiesenen Satze.

30 Erster Abschnitt. §. 3.

§. 3. Division.

Es seien, wie bisher

A =^ A{x) ^= a^x'" -\- a^x'"-'^ + • • • ^ ^ B = B{x) = &o ^" + &i ^"-' + • • •

zwei ganze rationale Functionen von x\, es soll jetzt vorausgesetzt werden, dass m ^ n sei und dass «o und h^ von Null verschieden sind. Dann ist die Differenz

(2) A — ^ x"^—B

auch eine ganze rationale Function von x^ deren Grad aber kleiner ist als w, da die höchste Potenz in beiden Gliedern der Differenz denselben Coefficienten hat und also herausfällt. Wir setzen diese Differenz:

(3) A' = A'(x) = «U'"' + aU'"'-^ + • • ', »i' < m.

Ist nun m' noch ^ w, so können wir in (2) A' an Stelle von A setzen und dieselbe Schlussweise wiederholen. So ergiebt sich eine Kette von Gleichungen:

(4) ^ öo '

A"— p. :r'«"-"5 = A"\

Oft

und diese Kette lässt sich so lange fortsetzen, bis der Grad der entstandenen Function kleiner als « geworden ist. Da nun in der Reihe der Functionen A, A\ A" . . . der Grad jeder folgenden mindestens um eine Einheit erniedrigt ist, so besteht die Kette der Gleichungen (4) höchstens aus m — n -\- 1 Gliedern ; sie kann aber auch weniger Glieder enthalten, wenn sich gleich- zeitig mehrere Potenzen herausheben. Addiren wir die sämmt- lichen Gleichungen (4), bezeichnen die letzte der Functionen A, A' . . . mit C und setzen zur Abkürzung

(5) Q = t" ^'"~" + T- •^'"'"" H '■

§. 3. Division. gj

SO dass auch Q eine ganze rationale Function von x ist, so folgt

(6) A = QB -^ C.

Die hier geschilderte Operation, durch die aus ^, B die Functionen Q, C gefunden werden, heisst Division. J. ist der Dividendus, B der Divisor, C der Rest und Q der Quo- tient. Der Grad des Restes ist immer niedriger als der Grad des Divisors.

Die Coefficienten der Functionen Q und C sind aus den Coefficienten a und b durch Addition, Subtraction, ^lultiplication und Theilung zusammengesetzt. Im Nenner kommen aber nur Potenzen von 60 vor, und wenn also bo = 1 ist, so sind die Coefficienten von Q und C ganze Functionen der a und b. Die höchste Potenz von b,) , die im Nenner auftreten kann , ist die (m — n -\- 1)*% da in der Kette (4) in jeder folgenden Gleichung im Nenner einmal der Factor &o hinzukommt. Es kann aber in besonderen Fällen die höchste Potenz von b^ in allen Nennern niedriger sein.

Nehmen wir z. B. für Ä eine Function dritten Grades

(7) f{x) = (loX-^ -f aiX'^ -^ a^x -\- a-^

und für B die sogenannte erste Derivirte von f{x), die vom zweiten Grade ist

(8) f'{x) = 'iüQX'^ -(- 2«!^; -|- «2, so erhält man:

no) ^ __ eooOij^-^^ . 9 «0 «3 — «1 «2

Wie man die in den Gleichungen (4) vorgeschriebene Rech- nung zweckmässig anordnet, darf hier aus den Elementen als bekannt vorausgesetzt werden. Wir machen auf die Analogie aufmerksam, die zwischen dieser Rechnung und der Division im dekadischen Zahlsystem besteht. Eine Function f{x) stellt eine dekadisch geschriebene Zahl dar, wenn die Coefficienten tto, «1 ... ganze Zahlen zwischen Null (einschliesslich) und 10 (ausschliesslich) sind, und a; = 10 gesetzt wird. Lässt man in den Coefficienten auch Zahlen zu, die grösser als 10 sind, so kann man eine Zahl auf verschiedene Arten durch f{x) dar- stellen. Man wendet dies bei dem Divisionsverfahren an, um auf

32 Erster Abschnitt. §. 4.

die einfachste Weise in den Resultaten gebrochene und negative Coefticienten zu vermeiden.

Ebenso wie man bei der Rechnung mit dekadischen Zahlen eine nicht aufgehende Division durch die Decimalbrüche fort- setzen kann, so kann man auch bei der Division von Functionen die Rechnung noch weiter führen.

Ist nämlich jetzt 0(x') eine Function m*™ Grades nnäf(x) eine Function n^'^'' Grades, wobei über die Grössenbeziehung von m und n nichts festgesetzt werden soll, so nehme man einen beliebig hohen Exponenten v, und wende die Regel der Division durch /(ic) auf die Function x^''^(x) an. Bezeichnet man einen Rest von höchstens (n — l)*^"' Grade mit ^v(«), so ergiebt sich:

(11) x'0(x) =f{x) {c„_,^_ia;'«-« + '' 4- c„_,„^'"-" + ^-i H

+ Cv_i} + 0,{x).

Die Coefficienten c„_„i_i, Cn—m-, Cn-m + i ■ • - sind rational aus den Coefticienten von f(x) und ^(x) gebildet. Der Coeffi- cient Cx ist von der Wahl von v unabhängig, sofern nur v >» x ist.

Denn wenn man in (11)

f(x) = «0^" + ttiiC^-l -\- ' ' • -\- ein

<X>{x) = b^x'" + biX'"-'^ + • • • + Öm setzt, so erhält man zur successiven Berechnung der c„_„,_i,

Cn-m, Cn-m + 1 • • • dic Glcicliungen

^0 ^M — m — 1 "o

fic)\ 0^0 ^n — m ~T~ Ö!'! ^n — m — 1 ^-^ ^^l

Oq^« — w + l |~ ^1 Cn — m ~l Oj<iCn — m — 2 — ^ ^^2

und diese Kette von Gleichungen kann beliebig weit fortgesetzt werden, wobei die a, deren Index grösser als n, und die 6, deren Index grösser als m ist, gleich Null zu setzen sind.

Theilung durch eine lineare Function.

Wir wollen die allgemeine Vorschrift für die Division noch auf einen besonderen Fall anwenden. Es sei der Dividend

(1) f{x) = «0^" + aia;"-^ -f- a^x''-^ + • • * + «n

beliebig, dagegen der Divisor vom ersten Grade oder, wie man auch sagt, linear. Wir wollen auch den Coefticienten der ersten

§• 4- Division durch lineare Functionen. 33

Potenz von x im Divisor = 1 voraussetzen und also den Divisor in der einfachen Form {x — oc) annehmen, worin « beliebig bleibt. Der Quotient Q ist in diesem Falle vom (n — l)ten Grade und der Rest C vom Oten Grade, d. h. von x unabhängig. Setzen wir also

(2) /(^) = ix - a)Q -i- C,

so enthält C die Variable x nicht mehr, und wenn wir

(3) Q = q,x—^ + q,x—^ -\ ^ ^n-2^ + g„_i

setzen, so folgt aus (2):

(4) f(x) = q,x-^ q,x—-^-\ ^ ^»-2^^+ qn-iX + C

—aqox"-'^ aq^^soc^ — «g„-2^ — w^„-i,

und aus der Vergleichung mit (1):

üo = «0

Qi — a</o = «1 I2 — «?i = «2

(5)

Qn — l Uq„_2 ttn — 1

C — «(/„-i = «„. Daraus erhält man

^0	— Clo _ «0«	+ «1 — a^a -f- a2
qn- c	-1 — «0«"	— ai«"-! -f- • •	. a„_ia -f ein — /(a).

(6)

C entsteht aus f{x)^ wenn man a; = « setzt, und kann also auch mit /(«) bezeichnet werden.

Demnach haben wir auch die Formel

worin Q (x) eine ganze Function vom Grade n — 1 ist.

Wenn wir in den Ausdrücken (6) an Stelle der unbestimmten Grösse « das Zeichen x setzen, so entsteht daraus eine Reihe von ganzen rationalen Functionen von x, die wir, wenn wir der Einfachheit halber «0 = 1 setzen, so schreiben:

Weber, Algebra. I.

34 Erster Abschnitt. §, 5.

/o = 1, (8j /a r= a;2 + «iä; + «2,

T)} — 1 X I tt-^^X I Cl^X ' • • — j— (Xn — !•

Diese Functionen /o, /i . . . /„_i werden uns später noch gute Dienste leisten. Für jetzt fügen wir noch folgende Bemer- kungen bei.

Man kann nach (8) die Potenzen 1, x^ x^ . . . a;"-^ von x linear ausdrücken durch die Functionen/,), /i . . . /„— i, und zwar so, dass in den Coefficienten nur ganze rationale Verbindungen der a vorkommen, z. B.

1 =/o,

^ =/i — «i/o,

a;2 z=/2 — «i/i 4- (af — a^jfo,

und daraus folgt, dass man jede ganze rationale Function von x, deren Grad nicht grösser als n — 1 ist, gleichfalls linear durch foi fit • • '1 fn—1 ausdrücken kann in der Form

(9) yofo + ?/l/l H h 2/n-l/n-l,

worin die Coeficienten ^o, Vi - • • Vn-i von x unabhängig sind.

Ist also Fix) eine beliehige ganze rationale Function von x, so kann man nach §. 3, indem man f{x) als Divisor betrachtet,

(10) Fix) = Qf(x) + y,fo + ^x/i H h yn-xfn-i

setzen, worin auch Q eine ganze rationale Function von x ist.

Zur recurrenten Berechnung der Functionen fv{x) ergiebt sich aus (8) die Relation:

(11) fv(x) — xfr-x{x) = ay.

§. 5. Gebrochene Functionen; Theilbarkeit.

Wenn Fix) und/(a;) zwei ganze rationale Functionen von x sind, so heisst der Bruch

eine gebrochene rationale oder auch kurz gebrochene oder rationale Function von x.

§. 5, Theilbarkeit ganzer Functionen. 35

Ist der Grad des Zählers niedriger als der Grad des Nenners, so heisst die Function echt gebrochen, im entgegen- gesetzten Falle unecht gebrochen.

Nach §. 3 lassen sich die ganzen rationalen Functionen Q und cp(x) so bestimmen, dass (2) F{x) = Qf{x) + g>{xl

und der Grad von cp(x) kleiner als der Grad von f{x) ist; dem- nach ist

(o. Fix) _ ^ , ^P(^

^^ fix) - ^ -^ fix) '

und daraus der Satz:

Jede gebrochene Function kann in die Summe aus einer ganzen und einer echt gebrochenen Function zer- legt werden.

Ist n der Grad von fix)., so ist der Grad von (p ix) höchstens 11 — 1 , er kann aber auch niedriger sein ; insbesondere kann auch der Fall eintreten, dass fpix) identisch verschwindet.

Dann heisst die Function Fix) durch fix) theilbar. Die Function

Fix)

fix) ist in diesem Falle nur scheinbar gebrochen, in Wirklichkeit der ganzen Function Q gleich. Die Formel

(4) ^ = ä;'«-i -f ä;«-2 -f a;'"-3 + • kl

X — 1

giebt hierfür ein einfaches Beispiel. Es ist dies die bekannte

Formel für die Summe der geometrischen Progression

\ -\- X -\- x''- -{-■•• -\- x"'-^.

Für die Theilbarkeit von Functionen gelten dieselben Ge- setze, wie für die Theilbarkeit der Zahlen, insbesondere die folgenden :

1. Wenn die Function Fix) durch die Function fix), fix) durch eine dritte Function (p ix) theilbar ist, so ist auch Fix) durch tpix) theilbar.

Denn ist

F= Qf f=acp,

worin Q und q ganze, rationale Functionen sind, so ist

F=Qqcp, und da Q q eine ganze rationale Function ist, F durch (p theilbar.

3*

36 Erster Abschnitt. §. 5.

2. Ist F(x) durch f(x) tbeilbar und Q eine beliebige ganze rationale Function, so ist auch QF(x) durch /(a;) theilbar.

3. Ist F(x) und f(x) durch cp (x) theilbar, so ist auch F(x) + /(a;) durch q)(x) theilbar, oder allgemeiner:

4. Sind 2^1, is . , . durch /(a;) theilbar und ^j, Q-2 > • • beliebige ganze rationale Functionen, so ist auch QiFi -L- Q0F2 -\- • • • durch f(x) theilbar.

Der letzte Satz umfasst die beiden vorhergehenden und wird einfach so bewiesen.

Sind i^i, F2 . • . durch / theilbar, so kanu man die ganzen rationalen Functionen ^1, 0.2 •■ • so bestimmen, dass

F, = OJ, F,^0J... und folglich

Q.F, -\- Q,F,^ = {Q,0, + Q.2O, -\ )/

Da nun ^1 ^1 -|- ^2 ^2 + • • • ^ine ganze rationale Function ist, so ist der Satz bewiesen.

5. Jede Function ist durch sich selbst theilbar.

In Bezug auf die Theilbarkeit oder Untheilbarkeit von Func- tionen wird nichts geändert, wenn die Functionen mit beliebigen, von X unabhängigen Factoren multiplicirt werden.

Eine von x unabhängige, von Null verschiedene Grösse kann als Function nullten Grades aufgefasst werden. Nennen wir eine solche Grösse eine Constante, so können wir sagen:

6. Jede Function ist durch jede Constante theilbar. Wenn eine Function durch eine andere theilbar ist, so ist

der Grad des Quotienten gleich der Differenz des Grades des Dividenden und des Grades des Divisors. Ersterer kann also nicht kleiner sein als letzterer. Sind die Grade gleich, so ist der Quotient eine Constante, und daraus folgt:

7. Wenn von zwei ganzen rationalen Functionen gleichen Grades die eine durch die andere theilbar ist, so unterscheiden sie sich nur durch einen con- stanten Factor von einander, und es ist auch die zweite durch die erste theilbar.

8. Nach §. 4 ist die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Function f{x) durch die lineare Function x — u theilbar ist, die, dass /(«j = 0 sei.

§• 6. Grösster gemeinschaftlicher Theiler. 37

§• 6. Grösster gemeinschaftlicher Theiler.

Es ist eine Aufgabe von fundamentaler Bedeutung, zu ent- scheiden, ob zwei ganze rationale Functionen ausser den Con- stanten noch einen anderen gemeinschaftlichen Theiler haben. Man tindet die Lösung durch den Algorithmus des grössten gemeinschaftlichen Theilers ganz in derselben Weise, wie die entsprechende Frage in Bezug auf die Theilbarkeit ganzer Zahlen beantwortet wird. (S. die Einleitung.)

Es seien

(1) f(x)=Ä, cp(x)=A'

zwei gegebene Functionen ; der Grad von gj (x) möge niedriger oder wenigstens nicht höher als der von f(x) sein.

Wir dividiren Ä durch A' und bezeichnen den Rest, dessen Grad niedriger ist als der Grad von Ä', mit Ä'\ also:

A = Q'A' + A"; nun dividiren wir A' durch A" und bezeichnen den Eest mit A'\ und fahren so fort in der Bildung der Functionenreihe :

(2) A A\ A'\ A'" . . .,

deren Grade w, n', n", n'" . . . immer abnehmen und folglich nach einer endlichen Anzahl von Divisionen auf Null heruntergehen. Der letzte Rest vom Grade Null, der also eine Constante ist, sei A^'\ Dann haben wir die Kette der Gleichungen:

A = Q'A' -f A"

A' = Q"A" -I- A'"

(3)

worin J.^'^ eine Constante ist.

Wenn nun A^ A' irgend einen gemeinsamen Theiler haben, so ist dieser nach den Sätzen des vorigen Paragraphen, wie der Anblick der Gleichungen (3) lehrt, auch Theiler von A", A'", A"" u. s. f. bis A'-''\ Ist A^"' eine von Null verschiedene Con- stante, so kann also kein von x abhängiger Theiler von f(x) und (p(x) existiren. Solche Functionen heissen theilerfremd oder relativ prim. Man sagt auch, indem man nur die von x

38 Erster Abschnitt. §. 6.

abhängigen Theiler berücksichtigt, die Functionen haben keinen gemeinsamen Theiler.

Die Bedingung, dass die beiden Functionen einen gemein- samen Theiler haben, ist also:

(4) A^'^ = 0.

In diesem Falle ist J.^'^^^ Theiler von ä'-''~^\ wie die letzte Gleichung (3) zeigt, und nach der vorletzten dieser Gleichungen

Theiler von J.^*'~^^ u. s. f., also auch Theiler von Ä und Ä\ d. h. von / und gp. Und da umgekehrt jeder gemeinsame Theiler von A, A' auch Theiler von J.^'~^^ ist, so heisst A^'^^^ der grösste gemeinsame Theiler von / und (p. Der Algorithmus (3) zeigt, dass man A''^ oder^''~^^ aus den Coefficienten von/ und cp durch die rationalen Rechenoperationen ableiten kann, und zwar so, dass immer nur durch die Coefficienten der höchsten Potenzen von x in den Functionen A, A\ A" . . ., die von Null verschieden sind, dividirt wird.

Wir wollen diese Betrachtungen auf zwei Beispiele an- wenden.

Es seien zunächst: .^x A = ttf^x^ -\- üiX -\- a2

^°^ B = h^x"- 4- hoc \- &2

zwei Functionen zweiten Grades, also ao, &,j von Null ver- schieden.

Der erste Schritt ist die Bildung der Gleichung

(6) A = ^ B ^C,

worin

(7j C = CoX -{- Ci,

und

/ßx ^ «1 h &1 «0 «2 ^n — &2 «0

KP) Cy = T , Ci = j

Co Of)

Ist Co = 0, also C constant, so haben A, B nur dann einen gemeinsamen Factor, wenn auch Ci = 0 ist, und dann ist A durch B theilbar, d. h. A und B unterscheiden sich nur durch einen constanten Factor. Ist aber Cq von Null verschieden, so setzen wir die Rechnung fort, indem wir

B = QC ^ n

setzen, worin (nach §. 4, wenn dort « = — c^ : Co gesetzt wird)

§. 6. Quadratische und cubische Function. 39

(9) D = &o Cf — h Co Ci -f h Cq .

Ist D von Null verschieden, so sind J., i? ohne gemein- schaftlichen Theiler, Ist aber D = 0, so ist C der grösste ge- meinschaftliche Theiler von A und 2^.

Setzt man die Werthe Cq, Cj aus (8) in (9) ein, so erhält man mit Weglassung des Nenners boC^ die Bedingung für die Existenz eines gemeinsamen Theilers C von A und B in der Form

(10) a^-ftg- -|- a.ß^- — 2 ao«2^o&2 — aiCi^hoh^ — ao«i&i^2 oder

(11) («0^2 — ^0«2)'- + («0^1 — «l^o) («o&i — «iZ^ä) = 0.

Diese Bedingung ist auch erfüllt, wenn Co und Ci gleich Null sind, und ist also die nothwendige und hinreichende Be- dingung dafür, dass A, B einen gemeinsamen Theiler haben.

Die linke Seite von (10) oder (11) heisst die Resultante der Functionen A und B.

Als zweites Beispiel nehmen wir das schon im §. 3 gewählte.

Setzen wir ..^. f(3o)= (lox^ -^ a^x^ -\- a^x -{- Us = A

^ ^ f'{x) = SaoX'' + 2aiX -f ag = B,

und setzen a^ von Null verschieden voraus, so haben wir nach §. 3 :

(13)		A — QB + C,
(14)		C • — C{)X 1 c^,
worin
(15j	Co —	Göotta — ^af 9aoa3 — «i«2 9ao ' ^' 9ao

Wenn Cq gleich Null ist, so ist hiermit der Algorithmus schon geschlossen; wenn Cj von Null verschieden ist, dann haben A und B keinen gemeinsamen Theiler; ist aber c^ auch gleich Null, so ist B selbst der grösste gemeinsame Theiler von A und B^ d. h, A ist durch B theilbar. Die Bedingungen hierfür sind also:

(16) 3ao«2 — "f = 0, 9ao«3 — «i«2 = 0.

Ist Co nicht gleich Null, so gehen wir einen Schritt weiter und setzen

(17) B=PC-{-I),

worin B constant wird und den Ausdruck erhält: ^ ^ a,c:i — 2aiCoCi + Sffpcf

^0

40 Erster Abschnitt. §• 6.

Ist dieser Ausdruck von Null verschieden, so sind A und B theilerfremd, ist er gleich Null, so haben Ä und B den grössten gemeinschaftlichen Theiler C. Setzen wir für Co, c^ die Werthe (15) ein, lassen den Nenner weg, heben noch den von Null verschie- denen Factor 9ao heraus und kehren das Vorzeichen um, so erhält diese Bedingung nach einfacher Rechnung die Gestalt:

(19) af«! ~\~ 18 «0^1 «2 '^3 — 4:aoa.^ — 4afa3 — 21 a^a^ = 0. Sie ist, wie man leicht durch Rechnung oder auch aus (18) sieht, auch dann erfüllt, wenn die Bedingungen (16) bestehen, und ist also die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass f{x) und f (x) einen gemeinsamen Theiler haben. Die linke Seite von (19), die eine ganze rationale und homogene Function der Coefficienten von f{x) ist, heisst die Discrimi- nante der Function /(a;).

Wir leiten noch einen Satz aus dem Algorithmus (3) her, der oft angewandt wird.

Aus der ersten dieser Gleichungen folgt:

(20) A" = A — Q'A\

und wenn man diesen Werth von A" in die folgende Gleichung

einsetzt:

A'" = (1 + Q'Q")A' — Q"A.

also, wenn mit p, p' ganze rationale Functionen bezeichnet werden,

(21) A'" =pA +p'A'.

Setzt man die Ausdrücke (20), (21) in die dritte Gleichung (3) ein, so ergiebt sich für A'" wieder ein Ausdruck von der Form

(21) und so kann man fortfahren, und erhält schliesslich:

(22) A^'^ = FA-{- P'A\

worin P, F' ganze rationale Functionen sind, deren Coefficienten durch rationale Rechenoperationen aus den Coefficienten von A und A' zusammengesetzt sind.

Die Gleichung (22) bleibt richtig, wenn man P durch P — QA' und P' durch P' -\- QA ersetzt, worin Q eine beliebige ganze Function von x ist. Sind nun n und n' die Grade von A und A\ so kann man Q nach §. 3 so bestimmen, dass der Grad von P — QA' nicht grösser als n' — 1 wird, und dann folgt, da in (22) die höchsten Potenzen von x sich wegheben müssen, dass der Grad von P' -|- QA nicht höher als n — 2 sein kann.

§.6. Producte linearer Functionen. 41

In der Formel (22) ist A^''^ eine Constante. Besonders wichtig ist dieser Satz in dem Falle, wo J.^"* von Null verschie- den, also A, A' relativ prim sind. Setzen wir in diesem Falle

P = A^''^F{x), P' = A^''^ 0 (x),

so können wir nach Weglassung des Factors A^*'^ dem Satze fol- genden Ausdruck geben:

I. Sind f(x) und (p{x) zwei ganze Functionen ohne gemeinsamen Theiler von den Graden n und m, so kann man zwei andere ganze Functionen F{x) und 0 (x) bestimmen, deren Grade nicht höher als m — 1 und ti — 1 sind, die der Gleichung (23) F(x)f{x) -{- (I>{x)(p(x) = 1

identisch genügen. Der Satz lässt sich noch verallgemeinern. Multipliciren wir die Gleichung (23) mit einer beliebigen ganzen J'unction x(^), so folgt:

(24J F(x) X {x)f(x) -i-0(x)x (x) cpix)=x (x),

und nach §. 3 können wir

(25) ^{x)xix) = Q(x)f{x) + i^{x)

setzen, so dass Q{x), t(x) ganze Functionen von x sind, und der Grad von ip{x) kleiner ist als der von f(x). Setzen wir dies in (24) ein und setzen an Stelle von F(x) x(^) ~\~ Q (^) 9 (^) wieder F(x)^ so erhalten wir:

F(x)f{x) ^(p{x)^p(x) =x(x). Wir können daher den vorigen Satz so verallgemeinern: IL Sind/(a;), q){x), x(^) gegebene ganze rationale Functionen, und/(a;) und q) (x) ohne gemein- samen Theiler, so lassen sich die ganzen rationalen Functionen F(x), ip{x) und zwar ip{x) von niedrigerem Grade als f{x) so bestimmen, dass die Gleichung

(26) F(x)fix) ^^(x)(p (X) = X {X) identisch befriedigt ist.

§• 7. Producte linearer Factoren. Nach §. 1 erhalten wir durch Multiplication ganzer Func- tionen ebensolche Functionen von höherem Grade, und zwar be-

42 Erster Abschnitt. §. 7.

stimmt sich der Grad des Productes durch die Summe der Grade der einzelnen Factoren.

Wenn wir also n lineare Factoren mit einander multi- pliciren, so entsteht eine Function wten Grades, deren ßildungs- weise wir etwas genauer untersuchen müssen.

Wir wollen die linearen Factoren in der einfachen Form X — «1, a; — «2, . . ., X — «„ annehmen, und setzen, da der Coefficient der höchsten Potenz = 1 ist,

(1) f{x) = (a; — «i) (x — «2) . . . (a; — «„)

= a:" -|- aiic"-! + a^x'^-^ -\- • • - ün-

Eine leichte Ueberlegung lässt folgendes Bildungsgesetz der Coefficienten «i, a^ . . • an erkennen:

Es ist — cLi gleich der Summe «, «2 gleich der Summe der Producte von je zweien der a, — «3 die Summe der Pro- ducte von je dreien der «, allgemein ( — 1)' a,. die Summe der Producte von je v der Grössen a, oder in Formeln ausgedrückt:

-|- «2 = -^ «1 ^-2

^ ^ ( ly fl, = Z'«! «2 . . . «v

( — l)"fl„ = «iWa ...«„.

Um aber noch deutlicher die Piichtigkeit dieses Bildungs- gesetzes einzusehen, bedient man sich der vollständigen In- duction.

Man bestätigt die Piichtigkeit zunächst in den ersten Fällen durch wirkliche Ausführung der Multiplication

{x — «1) {x — a^) = X'- — («1 -|- «2) X -\- aia.2,

{x — Kj {x — «2) {x — «3) = X-' — («1 -\- «2 4- W3) a-2

-f {a^U^ + «i«3 + «2 «3) ^ — «1«2«3-

W

Nehmen wir die Piichtigkeit unseres Bildungsgesetzes bei — 1 Factoren als bewiesen an und setzen:

{x — «1) (x — «2) ... {x — «n-i) = ^""^ + aix'"-^ -^ ••• fl».-i- so findet man durch Multiplication mit x — w„:

§. 7. Producte linearer Factoren. 43

a,		tti		ß„
«2		a'o		Cn	a[
tto		«3		«n	ttä

(3) ........

a, = a[ — «„a'v_i

^n ^« f« — li

und daraus ist die Richtigkeit der Formeln (2) unmittelbar er- sichtlich.

Es ist von Wichtigkeit, die Anzahl der Glieder zu bestim- men, die in jeder der Summen (2) vorkommen. Wir bezeichnen die Anzahl derTerme, die in der Summe ( — 1)'«, vorkommen, mit 5l"^; es ist die Anzahl der Combinationen ohne Wiederholung von n Elementen zur v*^° Classe (d. h. von je v verschiedenen der n Elemente). Um sie zu bestimmen, denke man sich zu- nächst die B["l.i Combinationen zur (v — 1)*«" Classe gebildet. Aus jeder dieser Combinationen kann man durch Hinzufügung je eines der fehlenden n — v -{- l Elemente n — v -\^ l Combi- nationen zur v*'^^ Classe ableiten. Auf diese Art aber wird jede Combination vmal, nämlich durch Hinzufügung jedes ihrer Ele- mente gebildet, so dass man die Relation

(4) B':' = B^U ''-" + ^

V

erhält, während B^i^ oöenbar denWerth n hat. Wenn man also die aus (4) folgenden Gleichungen

BT' = n

ßin) __ ß(n) n 1

5i"> - B':u '' multiplicirt, so folgt	i' -f- 1 V . {n — V -|- 1)
^^^ -^' 1.2.3.	. . V

Wir werden in der Folge oft, wenn m eine beliebige positive ganze Zahl ist, das Zeichen

(7j n(m) = 1 . 2 . 3 . . . m, r/(0) = 1

benutzen, so dass (8) n(ni) = mn{m — 1).

44 Erster Abschnitt. §.7.

Mit Hülfe dieses Zeichens lässt sich der Ausdruck für 5l"^ übersichtlicher so darstellen:

^^^ ^' —^''-' — n{v)n{n-vy

der, wenn JBo*^ = 1 gesetzt wird, auch noch für i^ = 0 und v = n

gilt, und die Unveränderlichkeit von 5t"^ bei der Vertauschung von V mit n — v erkennen lässt.

Das Product 77 (m) wird auch die Facultät von m genannt

und mit

1 . 2 . S . . . m = m\

bezeichnet.

Die Ableitung der Formel (4), die wir soeben nach den Vorschriften der Combinationslehre gegeben haben, ist zwar vollkommen richtig und einleuchtend, erfordert aber zur ge- nauen Begründung einige Ueberlegung, die sich nicht gut in kurze Worte fassen lässt. Wir wollen daher nachträglich noch durch das Mittel der vollständigen Induction die Pdchtigkeit beweisen.

Die Formeln (3) geben nämlich die folgenden Recursions- formeln :

73(") T)(n — 1)

X),i -Dn — 1

Nun lässt sich die Formel (6) für die ersten Werthe von n sehr leicht durch Abzählen bestätigen. Nimmt man sie für n — 1 als richtig an, so ergiebt (lOj:

T.(n) _ n{n-\) n{n - 1)

' n(v) n{n — V — 1) ~^ n{v — i) 77 (w — vy

woraus nach (8)

_g(n) ^ 77 (w)

n{v) n(n — V)'

und hierdurch ist die Allgemeingültigkeit der Formel (9) bewiesen.

Aus der Bedeutung von j5v'^ ergiebt sich, und wird auch

aus den Formeln (10) durch vollständige Induction be'VNaesen,

dass die ^1"^ positive ganze Zahlen sind.

§• 8. Binomial-Coefficienten. 45

§. 8. Der binomische Lehrsatz.

Wenn wir in der Formel (1) des vorigen Paragraphen die bisher willkürlichen Grössen a^, «2 . , . a„ einander gleich setzen, so erhalten wir den binomischen Lehrsatz, der in nichts Anderem besteht, als in der Ordnung der wten Potenz eines Binomiums x -\- y nach Potenzen von x. Wenn wir nämlich

«1 = «0 = • • • = cin = — y

setzen, so ergiebt die Formel (2)

tty = (— lyUa^a-i . . . «,. = 7/5t'*\

worin nach der Definition des vorigen Paragraj^hen J5t"^ die An- zahl der Terme der Summe bedeutet, die alle einander gleich und gleich ( — !)*■ y" werden. Demnach ergiebt sich

(1) (X H- yy = x- -{- B^^^x^-'^y + Bi^^ x—^f -\ f- B^:\f\

oder entwickelt geschrieben:

{x -j- yY = rr" + nx^'-Uj -] \ — —^ x»-^f- -{-... -j- tß

die letzte Summe über alle nicht negativen ganzzahligen Werthe et, ß erstreckt, die der Bedingung a -\- ß = n genügen.

Hiernach heissen die Coefficienten B["^ die Binomial- coefficienten.

Wir setzen der Uebersicht wegen eine kleine Tabelle der ersten Werthe der Binomialcoefficienten hierher:

n=l 1, 1,

n = 2 1, 2, 1,

n = 3 L 3, 3, 1,

n = 4 1, 4, 6, 4, 1,

M = 5 1, 5, 10, 10, 5, 1.

n — 6 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1,

n= 1 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

46 Erster Abschnitt. §. 8.

AYir wollen unter den verschiedenen Eigenschaften der Bino- mialcoefficienten zwei ableiten, von denen wir nachher eine interessante Anwendung machen werden.

Aus (1) ergeben sich, wenn man x^ y durch 1, x ersetzt, und n = 0, 1, 2, 3 • . . nimmt, die Formeln

1 = BT (2) (1 + xf = BT + BTx + Bfx^

(1 -f xr = B^"^ + B'fx -f Bf^x-^ H [- B'::^x\

Wir machen nun von der Summenformel der geometrischen

Reihe Gebrauch:

n -4- r^l^ + i 1

l-f-(l+^) + (l + ^j2_^ ^ (1 _^ ^)n _ Ljll^L £

die man aus §. 5 (4) erhält, wenn man dort x durch \ -\- x er- setzt. Entwickelt man hier wieder (1 -|- a^)'» + i nach der Bino- mialformel, indem man in der letzten Formel (2) n in n -{- 1 verwandelt und B'q~^' = 1 setzt, so erhält man für die rechte Seite :

Vergleicht man dies mit der Summe der rechten Seiten von (2) und setzt den Vorschriften des §. 1 gemäss die Coefficienten entsprechender Potenzen von x einander gleich, so folgt:

Bf + Bf -\-BT ^ h ^o" = B'^^''

^4) BV -^Bf -^.^•^BT=B',^^'^

T>fn) -p(n + 1)

oder allgemein

(5) 5<;> + 5t' +^^ H h B'^T = B^^^^.

Wenn man aber die Gleichungen (2j der Fteihe nach mit

Bt\ -B'i\ + 1?^"^ • • ± 5ir\

multiplicirt (wo das obere Zeichen bei geradem, das untere bei ungeradem n gilt), so ergiebt die Summe der linken Seiten nach (1)

BT - BT (1 + X) -^ bT{i + xy ± bT(i + ^)"

= [!-(]+ X)]- = (- xy,

§. 9. Interpolation. 47

S

und die Gleichsetzimg der Coefficienten gleich hoher Potenzen auf der rechten und linken Seite liefert das Formelsystem

0 ^ BfB"-^ — B'VB^^ + BfB\^^ + B'^^B"^^

^^^ 0 =- — bVb"^^ + bTb^:^'' + ^i">£l.")

(6)

+ 1 = ± 5^r^-Bi"^-

Dies Formelsystem lässt sich in umgekehrter Reihenfolge mit Benutzung der Relation B^^ = B\"Lv auch so darstellen:

1 = B^^^B'i'^

0 = M"^5^"^ - Bf-'^B["^

(7) 0 = BfBl;'^ - B^;'-'^B["^ + b\;'-'^bP

0 = B^:^Bir' - £L'-i^^M"^ + b^^ZoPb'.^^ — + bTb'-:\

oder auch in zusammenfassender Bezeichnung: (8) k (- l)'i^,lr-v''5l"^ =1 .ti = 0

0,u

= 0 /Lt = 1, 2 . . . w.

§• 9- Interpolation.

Wir wollen von den zuletzt gewonnenen Formeln eine An- wendung machen auf eine Aufgabe aus der Theorie der Inter- polation.

Es soll eine ganze rationale Function «ten Gra- des bestimmt werden, die für n -{- \ gegebene Werthe der Veränderlichen x vorgeschriebene Werthe hat.

Es handelt sich also um die Bestimmung der n + 1 Coeffi- cienten «ov «1, . . . a,j in

aus den n -\- \ Gleichungen

(2) /(«) = A, /K) = A,... f{u,,) = An,

wenn «o, «1 • • • «n die gegebenen Werthe von ic, und Aq, A^ ... A^i die entsprechenden Werthe von f(x) sind. Die Gleichungen (2) sind ein System von Gleichungen ersten Grades für die Unbe- kannten «0, «1, • . •, «tn die sich im Allgemeinen durch Deter- minanten auflösen lassen, wie wir im nächsten Abschnitt sehen

48 Erster Abschnitt. §. 9.

werden. Wir kommen später auf diese Aufgabe zurück, be- handeln sie aber jetzt unter der besonderen Voraussetzung, dass die gegebenen Werthe von x die n -\- \ ersten ganzen Zahlen 0, 1, 2, ... M seien.

Die Binomialcoefficienten 5t"\ wie sie durch §. 7 (6) definirt sind, behalten ihren guten Sinn, auch wenn n keine ganze Zahl ist, wie bisher vorausgesetzt war, sondern eine beliebige veränder- liche Grösse. Es ist dann

(^^ ^' - 1 .2.3...T.

eine ganze rationale Function vten Grades von x i). Der Coeffi- cient von x'^ ist von Null verschieden und daher kann auch x^

ausgedrückt werden durch B^f^ und durch niedrigere Potenzen von X. Es lässt sich also auch jede ganze Function wten Grades

f{x) von X linear ausdrücken durch Bt\ -Bi"^^ • . . Bn^ in der Form :

(4) fix) = M, Bt^ + M, B'^' -\ h ^nBt\

worin 3Io, M^ ... Ji"„ Constanten sind, und die Function /(ic) ist bestimmt, wenn diese Constanten bestimmt sind.

Es sei nun nach unserer Voraussetzung /(0),/(l),/(2) . . ./(w)

gegeben; da nach (3) J5t^^ immer verschwindet, wenn x einen der Werthe 0, 1, 2, ... v — 1 hat, so ergeben sich aus (4) die fol- genden linearen Gleichungen für die Unbekannten 31:

f{Q) = M,BT

/(l) = Jfo5?^ + m,bT

(5) /(2) = 3I,B? + 3I,Bf' + M,Bf

f{n) = 3I,B':' + 3I,B[^' -j- 31,Bf' -\ \- 3InB':\

Diese Gleichungen sind nun in Bezug auf Mo, 31^ . . . 3In aufzulösen, was sehr leicht mit Hülfe der Schlussgleichungen (8) des vorigen Paragraphen geschieht. Die erste Gleichung (5) er- giebt nämlich direct

(6) Mo=f(0).

1) Die Bedeutung dieser verallgemeinerten Binomialcoefficienten für die Entwickelung der Potenzen des Binoms gehört nicht hierher , sondern in die Analysis.

§. 10. Interpolationsproblem. 49

Multiplicirt man die erste Gleichung (5) mit Bo\ die zweite mit — B^i^ und addirt, so erhält man nach dem erwähnten Formelsjstem (auf n = l angewandt):

- M, = Bi''f{0) - B[''f{l)

und so allgemein, indem man die v ersten Gleichungen (.5) der

Eeihe nach mit B^o\ — B^;\ -f B'i'^ • ■ - ± B['^ multiplicirt und addirt:

(7) ±M. = 5^/(0) - B^'fil) + ^^■V(2) . . . ± B':'f(v),

wodurch nach (4) die Function F(x) bestimmt und die Aufgabe gelöst ist. Es ist klar, dass, so lange wir über die Werthe /(O), /(l), . . . f(n) keine besondere Voraussetzung machen, in dieser Form jede beliebige ganze rationale Function von x dargestellt werden kann.

§• 10.

Lösung des Interpolationsproblems durch die

Differenzen.

Die Definition der ganzen rationalen Function B^^^

/n 7?(^) _ ^ (^ — l) ■ ■ ' (x — V -\- l)

^^^ ^' - 1.2. '6 ...V

giebt die früher schon für den speciellen Fall eines ganzen positiven x bewiesene Relation:

(2) J5t" + '^ = J5t"^ + 5lli, :B|,"+" = Bi^^ = 1.

Daraus erhalten wir für die Coefficienten Jio, M^ . . . Mn eine Bestimmungsweise, die für die praktische Rechnung viel be- quemer ist, als die Anwendung der Formeln des vorigen Para- graphen.

Es ist nämlich nach den Formeln (4) und (6), §. 9,

(3) fix) =/(0) + 3f,Bt' -f Jf^^B^^ H h -^"^ir^

und wenn wir darin x durch x -|- 1 ersetzen und die Differenz

(4) Zl^=f(x-i-l)-f{x) bilden, mit Rücksicht auf (2)

(.5) z/, = M, -f M,B'r' + M,B^^^ -\ h MnB^:U

woraus sich ergiebt [da (5) eine Gleichung von derselben Art wie (3) ist, nur dass w — 1 an Stelle von n getreten ist]:

Weber, Algebra. I. 4

50

Erster Abschnitt.

M, = ^0 =/(l)-/(0).

§. 11.

Setzen wir

'x + l

— /I,

= ^;

(6)

^'

x-\-\

^; = ^i

^x + 1 ^x ^x ?

SO wird also hiernach

Mo = /(O), 31, == z^o, M, = ^o ... Mn = ^^T und die Formel (3) ergiebt

und ebenso kann man die Functionen z/^;, z/^, z/^ . . . ausdrücken:

^, = z^o + ^;^i'^ H h ^[.""'^^L^^i

f(n-l)

(8)

^/:

(n-l) War)

z/o + z/o^r^H [-^'r^s'nL

Die z/^, z/' z/" .

f(n-l)

a:)

sind ganze rationale Functionen der Grade n — 1, w — 2, ... 0, die letzte von ihnen also con- stant. Um sie alle darzustellen, braucht man nur die Werthe

/(O), z/q, z^oi ^Ö'? • • • ^o^~^\ die man am leichtesten berechnet, wenn man eine Tabelle anlegt, die für den Fall n = S z. B. folgende Form haben würde:

/(O)	A	-^;,
/(l)	^1	^1
/(2)	^2
/(3)

und, wenn die /(O), /(l), . tractionen berechnet wird.

gegeben sind, durch einfache Sub-

§. 11. Arithmetische Reihen höherer Ordnung.

Das Vorhergehende ist die Grundlage für die Theorie der arithmetischen Reihen höherer Ordnung. Wir bezeichnen mit

(1) Wo, Ml, II2, «31 • . .

irgend eine unendliche Reihe von Grössen und mit

§• n. Aritlimetisclie Reihen. 5X

(2) z/q = Ml — Mo, ^1 = «2 — Ml, ^2 = % — ^2 • . . die Reihe ihrer Diiferenzen, mit

(3) z/i = ^1 — z/o, z/1 =r z/2 — ^1 . . .

die Reihe ihrer zweiten Differenzen u. s. f.

Es ist klar, dass die Reihe (1) vollständig bestimmt ist, wenn ihr erstes Glied und die Reihe ihrer ersten Differenzen gegeben ist; denn es ist

Ml = Mo 4- ^0, ^2 = Mo -^ z/o + z/i . . ., Wm = Mo + z/o + z/i + . . • + z/,„_i.

Ebenso ist die Reihe (1) völlig bestimmt, wenn die beiden ersten Glieder und die Reihe ihrer zweiten Differenzen gegeben ist u. s. f. Die Reihe (1) wird eine arithmetische Reihe wter Ordnung genannt, wenn die Reihe ihrer wten Diffe- renzen constant ist, also die Reihe der (n -\- l)ten Differenzen aus lauter Nullen besteht.

Man erhält eine arithmetische Reihe wter Ordnung, wenn man in einer ganzen Function wten Grades f (x) für x die Zahlen 0, 1, 2, 3 . . . einsetzt.

Denn setzt man

z/, =f(xJri)-f(x)

^x '^(x + l) ^x »

SO ist z/a; vom (n — l)ten, z/^ vom {n — 2)ten Grade in Bezug

auf X, und also z/^""^^ constant. Ist nun

eine arithmetische Reihe wter Ordnung, so ist die ganze Reihe vollständig bestimmt, wenn die n Werthe Mq, Mi, % . . . Wn-i und ausserdem die constante wte Differenz gegeben sind. Diese letztere ist aber bestimmt, wenn auch noch das (n -\- l)te Glied Un gegeben ist. Wir können also den Satz aussprechen:

Eine arithmetische Reihe wter Ordnung ist voll- ständig bestimmt, wenn ihre n -\- 1 ersten Glieder gegeben sind.

Da nun eine Function f{x) vom nten Grade gleichfalls durch die willkürlich gegebenen Werthe

/(0),/(i),/(2), .../(n)

4*

52 Erster Abschnitt, §• H.

völlig bestimmt ist, so folgt, dass aus den ganzen ratio- nalen Functionen nten Grades f{x) alle arithmeti- schen Reihen wter Ordnung erzeugt werden, wenn man darin für x die Reihe der natürlichen Zahlen setzt.

Der Ausdruck des allgemeinen Gliedes ist dann durch die Formel (7) des vorigen Paragraphen gegeben.

Die Summen der 7n -{- 1 ersten Glieder einer arithmetischen Reihe niev Ordnung

Sm = ■l<0 + Wi + • • • + ^m

bilden eine arithmetische Reihe (n -f- l)ter Ordnung, da ihre ersten Differenzen

Sm -|- 1 S,n iim + 1

eine arithmetische Reihe wter Ordnung bilden.

Es lässt sich also mit Hülfe der Formel (7) des §. 10 die Summe s,n allgemein bestimmen, wenn man So-, Si . . . Sn + i als bekannt annimmt.

Um die erzeugende Function F(x) von s^ zu finden, wenn f(x) die erzeugende Function von u^, ist, setzt man

F{0) = /(O)

F(l) = /(O) -f /(l)

J'X2)=/(0j+/(lJ+/(2)

und hat dann in der Formel (7), §.10:

F{x) = F{0) -f- Do-Bi"^ + D'oJB'^^ -^

zu setzen:

Do = F{1) - F(()j =/(l), i>'o =/(2) -/(l) = z/„ A = F{2) - Fil) =/(2), D; =/(3) -/(2) = ^„ D, = F{3)-F{2)=f{S), Dl = zi, -^, =A,

So erhält man:

F{x) =/(o) +/(ij^i^^ 4- ^1^2^^ + ^1^3"^ H

Nehmen wir z. B. f{x) = a;-', so giebt uns F{iin) die Summe der m ersten Quadratzahlen. Es ist

§• 12. Der polynomische Lehrsatz. 53

also F(..) -. .. + .q^-=i) , ^ ^(^ - 1) (^ - 2) ^ 1.2 1 1.2.3

_ a;(a; 4- 1) (2^ -f 1) "~ 6

Für fix) = x^ ergiebt dieselbe Rechnung:

i.(.)=p±i)y.

Die Summe der m ersten Guben ist also gleich dem Quadrat der mten Trigonalzahl.

Der polynomische Lehrsatz.

Im §. 8 ist für den binomischen Lehrsatz die Form ab- geleitet:

(1) {x-]-yy = n (n) V jjj^— ^

.^^ n(cc) n(ß)

in der sich die Summe auf alle Combinationen zweier Zahlen a, ß erstreckt, deren keine negativ ist und die der Bedingung

(2) a ^ ß =n

genügen.

Diese Form gestattet, zunächst durch Induction, eine Ver- allgemeinerung auf die wte Potenz eines Polynoms:

(3) (. + , + . + ...)» = n('0°'Sn(^'^w'zf(;)...'

mit der Bestimmung, dass a, /3, y . . , alle positiven oder ver- schwindenden ganzzahligen Werthe durchlaufen, die der Be- dingung

(4) ci -\- ß -\- y -\- ' • • = n

genügen. Um aber die Richtigkeit dieser Formel allgemein zu beweisen, nehmen wir an, sie sei bewiesen, wenn das Polynom ein Glied weniger enthält, wie sie es in der That ist, wenn das Polynom nur zwei Glieder enthält. "Wir setzen dann

(5) ti = y -{- 0 -\

und wenden auf (x -\- u) die Formel (1) an, aus der sich er- giebt :

54 Erster Abschnitt. §. 1.3.

a, V y.a ^v

(6) ra; + 2/ -f- ^ + • . -J" = n(n) 2; n{a) n(y) mit der Beschränkung

(7) u -j- V = n.

Nun ist aber nach der Annahme schon bewiesen:

(8) «• = ^(-) S/zrgf,;...

(9) ^ 4- y H = ",

und wenn dies in (6) eingesetzt wird, so ergiebt sich unmittel- bar die Formel (3), und (7) geht in (4) über. Die Coefficienten

neu P(") — ^<^^)

^^^^ ^"„'?.-/-.. — j7(«^ niß) n{y) . . .'

die ihrer Bedeutung nach ganze Zahlen sind, heissen die Poly- nomialcoefficienten.

Beispielsweise erhält man für die dritte Potenz des Trinoms: (11) {x -^ ij -{- gy = x^ ^ iß + ^3 j^^x^y -\- Sxtß

4- 3x^2 -}- 3x3^ -\- Sy^2 -{- 3yz^ -{- 6xy0.

Wenn n eine Primzahl ist, so hat in (10) der Zähler den Factor »?, während der Nenner n{a)n{ß)n{y) . . . den Factor n nur dann enthält, w^enn eine der Zahlen oc, /3, y . . . gleich n, die übrigen gleich Null sind. Es folgt hieraus, dass die Poly-

nomialcoefficienten P'u,\^,y • • • alle durch n theilbar sind, mit Ausnahme der Coefficienten von x'^, if\ ^", . , . die gleich 1 sind. Von diesem wichtigen Satze werden wir später häufig Ge- brauch machen.

§. 13. Derivirte Functionen.

Es sei (Ij f(x) = Ooä;" J- aiic«-i -f a^x""-^ -f • • • + «n

eine ganze rationale Function «ter Ordnung.

Wenn wir darin x durch ein Binom x -\- y ersetzen, so können wir auf jedes einzelne Glied den binomischen Lehrsatz anwenden, und können das Ergebniss nach fallenden oder nach steigenden Potenzen von x oder von y ordnen. Wir wollen die Ordnung nach steigenden Potenzen von y ausführen. Die höchste

§• 13. Derivirte Functionen. 55

Potenz von y, die vorkommt, ist die wte, und der Coefficient der nullten Potenz von y ist dieFunction/(:c) selbst, wie man erkennt, wenn man ^ = 0 setzt. Wir setzen also, indem wir die anderen Coefficienten mit

f(x\ ^'^^> /"(^)

•^ ^ ^' n{2y J7(3) *••

bezeichnen,

(2) /(x + y) =f(x) + yf'{x) + J^ /"(x) + • . •

0, r» '^ ''

Die Functionen /(x), /"(^), /'"(a;) . . . heissen die erste, zweite, dritte, . . . Derivirte oder Abgeleitete von fix). Es sind ganze Functionen von x und ß'\x) kann den Grad 71 — V nicht übersteigen, da die Summe der Exponenten von x und y in keinem Gliede den Grad n übersteigt.

Die erste Derivirte, die also der Coefficient der ersten Potenz von y in der Entwickelung von f(x -\- y) nach steigenden Potenzen von y ist, erhält man durch Anwen- dung des binomischen Lehrsatzes auf (1):

(3) f'{x) = waoo:"-! + {n — \)a^x''-^ + {n — 2)a.2X»-^ +... Der Hauptsatz über die derivirten Functionen ergiebt sich

aus (2), wenn wir x in x -^^ z oder y m y -\~ s verwandeln:

y V

(4) /(^ + 2/ + ^) = S Tlfe /^n^ + ^) = 2: %7#/^K^).

Bezeichnen wir mit /^'''■") (x) die fite Derivirte von /t''> (a;), so ist nach (2)

(5) FK^^-^) = ^j^^F^^Kx),

0, « — V ^^^

und nach dem binomischen Satze:

^^ 77(1/) 2j n(ß) n(yy ^^^ ^'

Setzen wir dies in (4) ein, so folgt:

Die letzte Summe ist über alle nicht negativen Zahlen ß, y zu erstrecken, deren Summe den Grad n von f{x) nicht über-

56 Erster Abschnitt. §. 13.

steigt. Dieselben Zahlencombinationen durchlaufen aber auch die Exponenten v, fi auf der linken Seite, und die Vergleichung der Coefficienten gleicher Potenzen und Producte ergiebt (nach §. 1):

(8) /^.")(:r)=/'' + ^)(^), also den Satz:

Die fite Derivirte von der vten Derivirten ist die (v -)- fi)te Derivirte der ursprünglichen Function.

Man erhält also die sämmtlichen höheren Derivirten , indem man nach der Regel (3) aus jeder vorangehenden die erste Deri- virte bildet:

/ (x) = «oo;" + aia;"-^ + «a^'""" + «sic"-^ -j- • . .

(9) / (x) = na^x''-^ + (n — 1) a^x"-^ -\- (n — 2) a^a^-^ -f • • /" (x) = n (n — 1) aoa;«-2 -{- (n — 1) (n — 2) a^x"-^ + • • •

Eine etwas einfachere Form nehmen diese Derivirten an, wenn man sich einer anderen Bezeichnungsweise bedient, die häufig im Gebrauch und für gewisse Zwecke fast unentbehrlich ist, die wir im Anschluss hieran besprechen wollen.

Es liegt wegen der Unbestimmtheit der Coefficienten tto, tti . . . ün ofi'enbar keine Beschränkung darin, wenn wir eine ganze rationale Function wten Grades so darstellen:

(10) f{x) = «0^" + J5i"^aia;»-i + B^^ a^x^-^ -\ ^ a„,

oder ausführlich:

(11) fix) = «0«" + Ma^a;"-! -\ \. — ^ a^x*"-^ + • • •

Wenn eine Function f(x) so dargestellt ist, werden wir sagen, sie sei „mit den Binomialcoefficienten geschrieben".

Grössere Uebereinstimmung zeigen hierdurch bereits die Formeln (9), die dann so lauten:

f{x) = «0^" + «a,a;"-i -\ ^ — ^-^ a^x''-^ + • • •

^12) = a,x-^-\-{n-\)a,x-' + (n-|)_(n-2) ^^^^_^ _^ _ _

n{n — Ij

l'« 9) (^i 3")

= ao^""- + (»i — 2)fliX"-2 + ^^ Y^ ^ a^x»-^ -\-

§• 14. Derivirte eines Productes. 57

worin die rechten Seiten alle auch mit den Binomialcoefficienten geschrieben erscheinen. \Yir werden später den Nutzen dieser Bezeichnungsweise noch weiter kennen lernen, müssen aber schon hier hervorheben, dass die Wahl der einen oder anderen Dar- stellungsweise doch nicht ganz gleichgültig ist. die erste oft auch den Vorzug verdient. Besonders in den Fällen, wo die Coefficienten Zahlen sind und es auf das zahlentheoretische Ver- halten dieser Coefficienten ankommt, darf man nicht ausser Acht lassen, dass durch die Binomialcoefficienten ein der Sache fremdes numerisches Element eingeführt wird. Dass Gauss in der Theorie der quadratischen Formen (in den Disq. ar.) die Schreibweise mit den Binomialcoefficienten anwendet, wenn er die quadratischen Formen durch ax"^ -j- 21 xy -(- ciß darstellt, und dass diese Bezeichnung allgemein Eingang gefunden hat, hat in der Zahlentheorie zu einer unnöthigen und sehr bedauer- lichen Complication geführt.

§. 14. Derivirte eines Productes.

Die derivirten Functionen, die wir hier betrachtet haben, sind keine anderen als die aus der Differentialrechnung bekannten Differential quotienten ; wir haben den Begriff aber hier, wo es sich um ganze rationale Functionen handelt, ohne Anwendung der Infinitesimalrechnung gewonnen aus den Entwickelungscoeffi- cienten der Potenzen von y in der Function /(a; -|- y). Bezeichnen wir die vte Ableitung von /(a:) mit -D,/, so ist nach (2), §. 13

und daraus ergeben sich sofort die beiden Grundsätze, die sich in den Formeln

(2) I).{Cf)=CD.f,

(3) D,(/+g,) = z;,/+D.9

ausdrücken, worin C eine Constante, qo eine zweite ganze ratio- nale Function von x ist.

Eine Verallgemeinerung der Formel (2) giebt die Darstellung der Derivirten des Productes f(p. Setzt man nämlich nach (1) abkürzend

58 Erster Abschnitt. §• 1^-

fix + y) = Wo + y^<i + y"-u-2 + • • • 2/"« 9(a; -|- 2/) = n + 2/^1 + y^^'2 + • • • 2/^"^'

tnt

(4) also

so ergiebt die Ausführung der Multiplication der beiden Formeln ^dj, wenn man in dem Product den Coefficienten von y^ auf- sucht :

(6) ' y Y = ^^'^0 + Uy-lVi -\- lly-2V2 + • • • WoVv,

oder

(7) D.ifcp) = cpDyf^S'pDy^,f.D,cp-^BPDy^2f-D,(p-^---,

worin I^i'-*, ^o'^ , . . die ßinomialcoefficienten sind. In ähnlicher ^yeise kann man unter Anwendung der Polynomialcoefficienten die Derivirten eines Productes von mehr als zwei Factoren bilden.

Wir wollen die erste Derivirte, die wir jetzt mit D statt mit Dl bezeichnen, für ein Product von »iFactoren danach bilden.

Für zwei Factoren erhalten wir nach (7):

I)(fcp) = cpDf-^fDcp

= <pf'ix)^fcp'{x)

und allgemein, wenn wir die Factoren mit ti^, U2 . . . Un-, die Derivirten mit i(l, U2 . . . u'n bezeichnen:

(8) JDiliiU^ . . . Un)

= tl'ili2 . • • Un -j- U^lh . . . Un -\- • ' • -\- U1U2 , . . lln,

oder kürzer:

D(UiU2 . . . Un) -sr^ Duv

U1U2 . . . Un -^ Um

Wenn wir also ein Product aus linearen Factoren

(9) f{x) ■= {x — «1) {x — «o) . . . {x — «„)

betrachten, so erhalten wir, da die ersten Derivirten von x — k^, X — a2i . . . x — Un sämmtlich gleich 1 sind,

/' {x) =z (x — U2) {x — a,~) . . . {x — «„) + (^' — «1) {X — a-i) . . .{x — Un)

-\- (x — «i) ix — U2) . . . {X — a„_i), wofür man auch setzen kann:

§• 15. Partialbrüche. 59

(u) /(.)=/'£!, + /W^ + ...+ /(-)

X — Ui ' X — «2 X — a„

Ein sehr wichtiges Resultat ergiebt sich hieraus, wenn x gleich einem der Werthe cc^, «3 • . . «n gesetzt wird, nämlich

/ («1) = («1 — «2) («1 — «3) . • • («1 — ein) (12) -^'^""^^ ~ ^"2 — «1) («2 — Ci-i) . . . («2 — «„)

/'(«„) = (a„ — «J (a„ — w,) . . . («« — a,_i).

§. 15. Partialbrüche.

Die zuletzt abgeleiteten Formeln können dazu dienen, die in den Paragraphen 9 und 10 behandelte Interpolationsaufgabe in einer neuen Form zu lösen. Es habe/(a;) dieselbe Bedeutung wie oben, nämlich

(1) /(^) = (^ — «0 (x — «2) . ..{x — w„),

und «1, «2 . . . «M seien beliebige, jedoch von einander verschie- dene Grössen. Wir setzen zur Abkürzung

/i (^) = /— r, = (^ — «2) {x — cc,) . . . (X — a„)

(2)

^2 (^) = :/-^ = (a; — «0 {x — CC3) . . .(x — an)

X 1*2

fn{x) = -^^ = (a:; — «i) (a; — «2) . . . (a; — o{„_i),

so dass nach den Formeln (12) des vorigen Paragraphen /] (a^) = /'(ai), /i («2) = 0, ebenso allgemein, wenn ^ und v ver- schiedene der Indices 1, 2 ... m sind:

(3) /,(«,)=/'(«.), /.(«„) :=0.

Wenn nun A-^, A^^ . . . An ein System gegebener Grössen ist, so hat die ganze Function (n — l)ten Grades

(4) g> (X) - A, j,j~^ + ^-2 j,j^-^ + • • • + ^„ ^,^ ,

wegen (3) die Eigenschaft, für a; = a^ in Av überzugehen, und es ist also eine ganze Function (n — l)ten Grades (p(x) dar- gestellt, die für n Werthe von x gegebene Werthe annimmt, wie

60 Erster Abschnitt. §. 15.

in §. 9. Für besondere Werthe der Ä^ und a, kann der Grad von q) (x) auch noch niedriger werden. Die Formel (4) ist die Interpolationsformel von Lagrange. Sie lässt sich nach (2) auch so darstellen:

f{x) ix-a,)f\u,)^ (x — a,)f'(a,) ' ' (^_«„)/'(«„)'

und hierin kann cp{x) jede beliebige ganze Function (n — Ijten oder auch niedrigeren Grades bedeuten. Ist 0(x) eine Function von höherem als (n — l)ten Grade, so kann man nach §. 3:

(6) 0{x) = Qf(x)-^<p{x)

setzen, worin Q eine ganze Function und (p (x) höchstens vom {n — l)ten Grade ist. Zugleich ist aber wegen (1)

(7) 0(u,) = (p{ail und folglich

(8) '^^Q^ ^^^M I ^(-^)

f{x) ^ f'M{x — a,) ' /' («2) (a: — W2)

-f ••• +

/' (a„) {x — a„)

Durch diese Formel ist der Bruch 0{x):f{x) in eine Summe aus einer ganzen Function Q und aus Brüchen mit constantem Zähler und linearem Nenner zerlegt. Diese Brüche heissen die Partialbrüche der gebrochenen Function 0{x) '. f{x). Sie spielen bekanntlich eine wichtige Piolle in der Integralrechnung.

Wir leiten aus diesen Piesultaten noch einige Folgerungen ab: Setzen wir (p{x) = a;'" + ^ so bleibt die Formel (5) anwend- bar, wenn m<in — 1 ist. Setzen wir voraus, dass von den Grössen «1, «2: • • -1 ^'n keine verschwindet, so wird die linke Seite von (5) gleich Null für a; = 0, und wir erhalten den Satz:

m m m

w = 0, 1 , 2, . . . M — 2.

Für O {x) = a;" kann die Formel (8) angewandt werden, in der sich ^ = 1 ergiebt, und es folgt:

n — 1 n — 2 n — 1

Die Formeln (9) und (10) gelten auch dann noch, wenn

§. 15. Partialbrüche. 61

eine der Grössen a verschwindet. Dies ist ohne Weiteres klar, wenn m ;> 0 ist. Aber auch für m = 0 ergiebt sich (9) in diesem Falle aus der Formel (5), die für (p{x) = x, «j = 0 so lautet:

-T ' ■ • -r

was für X = 0 wieder die Formel (9) ergiebt.

Wir haben bei diesen Betrachtungen ausdrücklich ange- nommen, dass die Grössen «i, Wj, . . ., a„ von einander ver- schieden sind ; anderenfalls würden einige der Grössen /' (wi), /'(«,), • . ., /'(o'n) verschwinden. Verstehen wir aber allge- meiner unter f(x) ein Product aus Potenzen von einander ver- schiedener Linearfactoren der Form x — w, und unter 0(x) eine beliebige ganze Function, so lässt sich auch jetzt noch die ge- brochene Function C>(x) '. f(x) in eine ganze Function und eine Summe von Partialbrüchen zerlegen, wenn wir allge- meiner unter Partialbrüchen Brüche verstehen, die einen Constanten Zähler und eine Potenz des Binoms {x — u) im Nenner enthalten.

Um dies durch vollständige Induction nachzuweisen, setzen wir

(11) /(^) = (^-«)Vi(^)

und verstehen unter /j {x) ein Product aus Potenzen von Linear- factoren, unter denen x — a nicht mehr vorkommt.

Nun lässt sich nach §. .5 die Constante A so bestimmen, dass

(12) Q {x) — Af, {x) = (X - a) 0, (x) durch (x — cc) theilbar wird. Es ist nur

ZU setzen, und dann ergiebt sich aus (11) und (12):

^ ^ f{x) (:c-«)Vi(«)'^(^-«)"-Vi(^)

Auf den zweiten Bruch auf der rechten Seite dieser Formel, der den Factor {x — «) einmal weniger im Nenner enthält, als der ursprünglich gegebene Bruch ^{x) :f{x), lässt sich dasselbe Verfahren wieder anwenden, und damit kann man so lange fortfahren, bis die gewünschte Darstellung durch Partialbrüche erreicht ist.

62 Erster Abschnitt. §. 16.

§• 16-

Entwickelung einer gebrochenen Function nach fallenden Potenzen der Variablen.

Wir haben im §. 3 für einen beliebigen positiven Expo- nenten V die Formel abgeleitet:

(1) x'0{x) =f(x) {c„_,„_ia;'«-« + ^' + Cn-,nX-'-^ + '-^

worin /, 0, 0i ganze Functionen von x der Grade n, w, n — 1 waren, und worin die c und ebenso die Coefficienten von Qi rational aus denen von / und von 0 abgeleitet sind. Dividirt man diese Formel durch x^f(x), so folgt: 0(x)

fO^ /^ 'T"' — n I /o /)^jn — n — 1

yaj j, On — »n — X '^ ^^ <-^n — m -^

Der ins Unbestimmte fortgesetzte Theil dieses Ausdrucks

heisst die Entwickelung des Bruches 0{x):f{x) nach fal- lenden Potenzen von x und die Cj die Entwickelungscoeffi- cienten. Das weggelassene Glied x—'Oy{x):f{x) heisst der Rest. Mit welchem Piechte man unter Umständen die Entwicke- lung für die Function selbst setzen kann, ist eine Frage, die in die Analysis gehört, auf die wir hier nicht einzugehen brauchen. Wenn Q(x):f{x) eine echt gebrochene Function ist, so enthält die Entwickelung nach fallenden Potenzen nur negative Exponenten von x. Ist aber 0 : f unecht gebrochen, so scheidet sich noch eine ganze Function oder eine Constante ab. Der Theil mit negativen Potenzen

^4-£i I £i I

X ' X' ' X'^

ist der wichtigste: Er ist für alle Functionen 0 derselbe, die bei der Theilung durch / denselben Ptest geben.

Die Entwickelung (2) ist in dem Sinne eindeutig bestimmt, dasSj wenn wir einen Ausdruck von der Form annehmen:

§. 16. Entwickelung einer gebrochenen Function etc. G3

(4) J^J = c'n-m-lX^-^ ^ Cn_„,X-'-n-l

und nur voraussetzen , dass in der gebrochenen Function Si der Grad des Nenners höher sei als der Grad des Zählers, dann nothwendig

(5) d = d, Sl = — ^

sein muss. Es folgt nämlich zunächst aus der Annahme (4) durch Multiplication mit x*f{x), dass Sif{x) eine ganze Function von X ist, deren Grad also nach unserer Annahme höchstens = n — 1 ist, und dann werden die c'i durch Vergleichung mit der Formel (1) den d gleich gefunden, was dann für' Sl den Aus- druck (5) nach sich zieht.

Daraus folgt weiter, dass man die Entwickelungscoefficienten für die Summe von zwei oder mehr gebrochenen Functionen er- hält, wenn man die entsprechenden Coefficienten der einzelnen Summanden addirt, und dass man die Entwickelung eines Pro- ductes zweier Functionen dadurch bilden kann, dass man hin- länglich weit fortgesetzte Stücke der Entwickelungen der ein- zelnen Factoren mit einander multiplicirt, und das Ergebniss wieder nach absteigenden Potenzen der Variablen ordnet. Hier- bei kann man einfach die Ptegel der Multiplication (§. 1) auf ganze Functionen von 1 : x anwenden.

Für den einfachen Bruch

1

X — « ergiebt sich die Entwickelung

— — — ~~j — — I — — ] — • o •

**/ **/ *A/ «A/

wie man leicht aus §. 3, (12) findet, und daraus, wenn man einen nach §. 15, (8) in Partialbrüche zerlegten Bruch hat:

^(^^ _ n i *^^«i) I ^ K)

7777 — Vi- .//„ u^ ^ -r

Ji^) /'(«lj(^— «l) /'(«2)(^ — «2)

"^ r f(^a„)(x — a„y

für die Coefficienten Cq, Cj, Cg . . . die folgenden Ausdrücke:

worin sich das Summenzeichen auf a^, «25 • • •? ^^n erstreckt.

C4 Erster Abschnitt. §. 17,

Nehmen wir insbesondere 0 (x) = f (x) an , so werden die Grössen Co, c^, C2 • • • identisch mit den Summen der Potenz der a: . .

(6) Co = n, Cy = Zai, c.2 = 2^«,?, . . -

§• 17. Ganze Functionen mehrerer Veränderlichen: Formen.

Wir haben bisher vorzugsweise die ganzen rationalen Func- tionen von einer Veränderlichen betrachtet; wir können uns aber nicht immer darauf beschränken und haben ja auch schon oben Functionen mehrerer Veränderlichen benutzt. Unter einer ganzen rationalen Function nten Grades mehrerer Veränderlichen F{x^ y, z, . . .) verstehen wir eine Summe von Gliedern:

2;j.„,^,j,... X" if zy . . .,

worin «, /3, y , . . ganzzahlige, nicht negative Exponenten sind, deren Summe a -j- /3 -{- y -}- • • • den Werth n nicht übersteigt, und wenigstens in einem Gliede auch wirklich erreicht. Der Grad wird also bestimmt durch den grössten Werth, den die Summe « -j- /3 -j- y -f- • • • annimmt. Die Au,^,-,... können be- liebisce Grössen darstellen und heissen die Coefficienten.

Wenn die Summe der Exponenten a -{- /3 -|- y -j- • • • in allen Gliedern denselben Werth hat, so heisst die Function homogen.

Eine fundamentale Eigenschaft der homogenen Func- tionen »zten Grades ist die, dass, wenn alle Va- riablen mit demselben Factor vervielfältigt wer- den, der Erfolg derselbe ist, wie wenn die Function mit der 7iten Potenz vervielfältigt wird; in Zeichen, wenn t eine beliebige Veränderliche bedeutet: (1) F{tx, ty, tz . . .) = t"F(x, y,z.. .);

denn ersetzt man in dem Product x" y^ z'' . . . die Variablen durch tx, ty, tz, . . ., so erhält es den Factor

hat nun a -{- ß -\- y -\- • - • in allen Gliedern denselben Werth n, so kann der Factor i" vor die Summe F herausgenommen werden. Hat aber die Summe a -\- ß -\- y -i- - • - in den ein- zelnen Gliedern verschiedene Werthe, so kann ein solcher ge- meinschaftlicher Factor nicht herausgenommen werden, wenig-

§. 17. Formen. ß5

stens nicht, ohne dass noch verschiedene Potenzen von t in den einzelnen Gliedern bleiben.

Durch Vermehrung der Veränderlichen kann man jede nicht homogene Function in eine homogene von gleichem Grade verwandeln. Ist nämlich m — 1 die Anzahl der Variablen in einer nicht homogenen Function w*^'^ Grades, so setzen wir

.z;, X.2 x^

X = — 1 ^= — , 2 = ^- • • -.

und erhalten in

X.

n TP ( "^l '^2 •^;'. \

»i J^ \ ? 1 • • • I

\Xffi X,fi Xfn /

eine ganze homogene Function wten Grades der Variablen Xi, x^ . . . a?„„ die wir mit

^ (^n x=i . . . x„i) bezeichnen.

Es empfiehlt sich bisweilen, die homogenen Functionen meh- rerer Variablen mit den Polynomialcoefficienten zu schreiben.

Wir setzen daher

(2) O (x^, X2 . . . Xr,^)

— 2u j7(«ij ii(«2) . • • ^K) ^"'' "-••"- ^' ^' • • ■ ^-

wo sich die Summe auf alle nicht negativen, der Bedingung

(3) «1 + «2 + • • • + '^'« "= ''^

genügenden Zahlen erstreckt. Diese Bezeichnungsweise, ohne die Beschränkung (3), ist auch auf nicht homogene Functionen an- wendbar.

Man kann aber die homogene Function auch so darstellen:

worin jeder der Indices Vj, v^ . . . Vn von den übrigen unabhängig die Werthreihe 1 , 2 . . . »w zu durchlaufen hat. Die Summe (4) besteht also aus m" Gliedern, die aber nicht alle von einander verschieden sind. Das Product Xy^ Xy^. . , Xy^ bleibt nämlich un- geändert, wenn die Indices v^, v^ . . • v« beliebig unter einander permutirt werden. Die Anzahl der Permutationen von n Ele- menten beträgt aber 71 (wj. Sind unter diesen Elementen je

Weber, Algebra. L 5

66 Erster Abschnitt. §. 17.

Kj. «2 . . . einander gleich, so reducirt sich die Zahl der Permu- tationen auf

n

in)

J7(a,)77(a,j . . .' woraus sich ergieht. dass in (4) irgend ein Product x"^xl^ . . . genau

n(n)

mal vorkommt. Setzt man also noch fest, dass Äy^^ v.2 . . . r„ sich nicht ändern soll, wenn die Indices beliebig permutirt werden, so erweisen sich die Bezeichnungsweisen (2j und (4) als iden- tisch, wenn durch Zusammenfassen gleicher Factoren

rp /v^ /y nr^\ 0^^2 ^

'i ''2 ■ ■ ■ n 1 2 • • • "'

und

-4,1, ip . . . r„ = -^«1, Cj . . . a„j

gesetzt wird.

Bezeichnen wir die Anzahl der Glieder, die in der Function CD [nach (2)] auftreten, mit (w, >?), so findet man, indem man zu- nächst die Glieder zählt, die den Praetor x-^ haben und dann die übrigen, die eine homogene Function «ter Ordnung von den übrigen m — 1 Variablen bilden, die Recursionsformel:

(5) (w, n) = (m, n — 1) -f- {m — 1, n),

mit deren Hülfe man durch vollständige Induction den Ausdruck:

(a, A„ ,,^ _ ^» 0^^ -r 1) • • • 0'^ -r » — 1) _ -^ i^^ + ^? — 1) ^bj Kin.n)— 1.2...W "" 77(«) i7(m — Ij'

der sowohl für n = \ als für m = 1 richtig ist, als allgemein gültig erkennt.

Die ganzen homogenen Functionen werden auch Formen genannt. Man unterscheidet nach der Anzahl der Variablen unäre (einfache Potenzen), binäre, ternäre, quaternäre Formen. Die binären Formen sind es, die uns hier besonders interessiren , deren Theorie im Wesentlichen identisch ist mit der Theorie der ganzen rationalen Functionen einer Veränder- lichen. Man gelangt von den binären Formen zu diesen Func- tionen zurück, wenn man eine der homogenen Variablen als con- stant ansieht, z. B. ihr den Werth 1 giebt.

§• 18. Kationale Functionen.

67

§• 18. Die Derivirten von Functionen mehrerer Variablen.

Wir haben im §. 13 die derivirten Functionen einer ganzen rationalen Function einer Veränderlichen definirt. Der Begriff lässt sich unmittelbar übertragen auf Functionen mehrerer Variablen, indem man die Ableitungen in Bezug auf jede Variable für sich, als ob sie die einzige wäre, bildet. So erhält man, wenn man etwa wie in §. 17

(1) F(x, y,z...) = 2JÄa, ß,y... x"yi^sY . . . setzt, die erste Derivirte nach x:

(2) F' (x) = EaA,, ^, , . . . x"~^ ifzr . . .. oder nach y:

(3) F'iy) = UßA., ,,, y . . . x">/^-^zy . . .

u. s. f. Aus diesen Functionen kann man nach denselben Regeln wieder die Ableitungen nach den verschiedenen Variablen bilden und erhält so die höheren Ableitungen.

Um die Resultate übersichtlicher darzustellen, sei 0(;ri, x^... x^) eine ganze rationale Function wter Ordnung der m Veränderlichen Xi, x^ ... Xm- Wir ersetzen diese Veränderlichen durch Binome:

•^l 1 feil ^2 ~T~ =25 • • -5 ^in ~\~ fem

und entwickeln in jedem Gliede der Function

^ (^1 + fei, ^2 + ^2, • . ., ^m + Im) = ^ (« + |)

durch Ausführung der Multiijlication

{Xi 4- I,)"' {x, + la)«^ ...{Xm-{- U"«. nach Potenzen von |i , I2 • • • Im- Fassen wir gleiche Potenzen und Producte der Variablen | je in ein Glied zusammen, so ergiebt sich in der Bezeichnung (2) §. 17 für 1>{x -j- |) eine Darstellung, die in der Differentialrechnung die Taylor 'sehe Entwickelung heisst:

Die Coefficienten, die wir mit

bezeichnen, sind Functionen der Variablen x und heissen, wenn

5*

ßg Erster Abschnitt. §• 18.

«^ _|_ c/,2 -|- • • • -|- u,n = V ist, die Derivirten vier Ordnung der Function ^.

Man stellt sie auch nach der in der Differentialrechnung gebräuchlichen Bezeichnungsweise so dar:

(5) I)u„a^...a^^ = -cXi"^dXl^...dxy

Das Bildungsgesetz der Derivirten lässt sich in folgende Sätze zusammenfassen, wobei wir der Kürze wegen die Indices bei dem Zeichen D weglassen.

L Ist C eine Constante, so ist I){C<^) = GBO. II. Sind ^ und 'F irgend zwei Functionen, so ist 2)(0 _j- w) = DO -\- LW.

Beides folgt unmittelbar aus (4).

Wir können also leicht die derivirten Functionen allgemein bilden, wenn wir sie für den speci eilen Fall kennen, in dem ^ ein Product von Potenzen ist, also wenn wir

-L^a^. c... .a^ \^l -^2 • • ' • m J

kennen, worin die ^ beliebige, nicht negative Exponenten sind. Nun ist aber

(X. + ; )"■ = S Ji(..jfli.". - %) «''^''"°'

und folglich:

(6) (^1 + ll)"^ • • • (^m + lm)"m

vT^ ^' bl • • • 6>n }

^ 2^ n (ui — «!_).. . J7(fim — «„,) 77 («i) ... 77 («„,) und es ergiebt also die Vergleichung mit (4) und (6):

V. 0 -Lfui . . . a„i V'^l • • • '^m )

77(f^i) . ■ . 77 (.»„.) _ /n.-«m

77 (uj — «j) . . . 77(iLi„, — K,„) 1

so lange «i ^ i^i . . • «,„ ^ ji„,. Dagegen ist

(8) D«! . . . a,„ fe'' • . . ^m") = ^'

sobald einer der Indices « grösser ist als der entsprechende Exponent fi.

§• 18. Rationale Functionen. 69

Bezeichnen wir nun mit ßi, ßz . . . ß,» ein zweites System von Indices, und bilden von der Function (7) die Ableitung

•^^1' ßi- ■ • ßmi so ergiebt sich durch nochmalige Anwendung der- selben Formeln (7) und (8):

(9) ^ß. . . . (^m ^"i . • • «„. fc'^ . . ^^) = i^s + «I . . . ^. + "^ fev . . ^rr),

und daraus folgt nach II. die allgemeine Gültigkeit des Satzes:

was eine Verallgemeinerung des Satzes (8), §. 13 ist, und man kann also die höheren Derivirten durch fortgesetzte Ableitung der niederen bilden.

Für die ersten Derivirten einer Function <&

A, 0 . . . 0 ^, Do, 1 . . . 0 ^, . . . i>o, 0 . . 1 ^

brauchen wir auch die kürzeren Zeichen ebenso für die zweiten

i^2, 0 ... 0, -Dl, 1 ... 0, . .

die Zeichen

^"{x„ Xi), ^"(^1, X2) = <^"{X2, x,l . . .

Auch diese Bezeichnung lässt sich verallgemeinem und würde zu einem der Formel (4), §.17 entsprechenden Ausdruck führen. Alles dies behält seine Gültigkeit, mag die Function 0 homogen sein oder nicht.

Wir erwähnen des häufigen Gebrauches wegen die Formeln für die quadratischen Formen besonders. Setzen wir

(10) 0{X) = Züi^T^Xi Xk,

worin i, Tc von einander unabhängig die Reihe der Zahlen 1, 2 . . . m durchlaufen und a,-, k = ciu, » ist, so ist

(11) V2 ^' (^2) = «2, X a^i + a2, 2 3^2 + • • • + a2,mOC„

72^ (Xm) ^= ttm, 1^1 ~I Cfm, 2^2 "T" ' ' ' l ^m,mXmf

und wir setzen noch

(12) 0{x, Ij = 0(|, a) = 2:^i0'(Xi] = Zxi0'ili). Dann ist

(13) 0{x + ^j = 0(x) + 0iX., ^) + 0(1).

70 Erster Abschnitt. §• 19.

Die Function 0{x, 'S,} wird die Polare von 0 genannt. Sie ist linear und homogen sowohl in Beziehung auf die x^ wie in Beziehung auf die |.

Sie kann ausgedrückt werden durch

(14) ^{x,^) = 2Zai^^iX^ und genügt der Bedingung

(15) ^{x,x) = 10{x).

§. 19. Das Euler'sche Theorem über homogene Functionen.

Aus den vorstehenden Entwickelungen lässt sich mit Leich- tigkeit ein Fundamentalsatz über homogene Functionen her- leiten, der von Euler entdeckt und nach ihm benannt ist.

Wir erhalten ihn am einfachsten aus der Formel (4) des vorigen Paragraphen, wenn wir darin 0 als homogene Function annehmen. Ist dann t eine beliebige Veränderliche und

so ergiebt die Fundamentalformel §.17 (1) für die homogenen Functionen

(2) a + tY^(x^ - V ^rA^2):i^^(^^>«)-'>^ j) ^

Wendet man auf der linken Seite von (2) den binomischen Satz an, und setzt dann die Coefficienten gleich hoher Potenzen von t beiderseits einander gleich, so ergiebt sich für jedes

n(n) .

(3) jj, ^^ ^(■^i, X2 . . . Xm)

^^ 77(aJ 77(«.j...77(cc,„) ^ 2 ,„

worin sich die Summe auf alle der Bedingung

(4) «1 + «2 + • • • + «m = '^ genügenden Werthsysteme der a erstreckt.

In dieser Form ist das zu erweisende Theorem in seiner Allgemeinheit enthalten. Für den besonderen Fall v = l erhalten wir die Formel (.5) n0{Xi, a^a . . . ^,«) = oc^ CD' (x^) -j- x^ 0' (^2) + • • • ^m ^'{x,n).

§. 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen. 71

wovon die Formel (15) des vorigen Paragraphen ein specieller Fall ist, und für v = 2:

(6) n(n — 1) <X>(Xi, x^ . . . x,n) = 2J Xi Xk ^"(Xi,Xu),

worin die Summe von i = l bis i = m und von Je = 1 bis Je = m zu erstrecken ist, so dass jedes Glied mit ungleichen ^■, Je zweimal in der Summe auftritt.

Setzen wir, wenn die a der Bedingung (4) unterworfen sind

(7) ^.(1, x) = ^ l^ J^ ■'■\ D«.,.,...«^ ^,

li(ai) n{a.2) . . . n(ci,n)

so ist nach (4) des §. 18:

(8) 0{x + I) = <^(x) + 0, (;r,|) + ^,(a:,|) H h ^n(^,|),

und da die linke Seite ungeändert bleibt, wenn x mit | ver- tauscht wird, so ergiebt sich die Relation:

(9) ^„-v (X, I) = 0», (I, X), also insbesondere

(10) On{x.^) = Oa).

Die Function Qv (x, |) wird, als Function von x betrachtet, die vte Polare der Function ^ für das Werthsystem ^ genannt.

Wir wollen die Formel (3) noch für den Fall einer binären Form (m = 2) specialisiren.

Wir bezeichnen die Variablen mit a;, y und setzen zur Abkürzung

O (x, y) = u, JDh, y-h 0 = Uh

und erhalten aus (4)

ni>> n[n - v) ff n{ji)n{v - ji) ^'"^ ^ '

worin v jeden beliebigen Werth, der nicht grösser als n ist, annehmen kann.

§• 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen.

Das Product von ganzen Functionen ist wieder eine ganze Function, die, wenn die Factoren von Null verschieden sind, selbst von Null verschieden ist (§. 2), und deren Grad gleich

72 Erster Abschnitt. §. 20.

der Summe der Grade der Factoren ist. Dies ist zunächst evi- dent, wenn die Factoren, und folglich auch das Product, homo- gene Functionen sind, und es folgt dann allgemein aus der Bemerkung, dass sich jede nicht homogene ganze Function in eine Summe von homogenen Functionen verschiedener Grade zer- legen lässt, deren höchster den Grad der Function bestimmt.

Wir haben nun unter den ganzen Functionen solche zu unterscheiden, die als Producte von zwei oder mehr ganzen Functionen, deren keine vom nullten Grade (also constant) ist, dargestellt werden können, und solche, bei denen dies nicht mög- lich ist. Die ersten heissen zerlegbar, die anderen unzer- legbar.

Wenn eine ganze Function zerlegbar ist, so ist der Grad jedes der Factoren niedriger als der Grad der Function selbst. Eine lineare Function ist also immer unzerlegbar, und jede ganze Function lässt sich in eine endliche Zahl unzer- legbarer Factoren zerlegen.

Wir nennen eine ganze Function W durch eine andere tv theilbar, wenn eine dritte ganze Function (oder auch eine Con- stante) w' existirt, so dass

W = ww'

ist. Daraus folgt dann, dass, wenn ü eine durch w theilbare und V eine beliebige ganze Function ist, auch das Product UV durch IV theilbar ist, und dass, wenn U, TJ\ U" . . . durch lo theilbare, F, F', V" . . . beliebige ganze rationale Functionen sind, auch UV + U'V -\- Ü"V" ^ durch w theilbar ist.

Ist W durch w theilbar, so sagt man auch, w geht in TFauf.

Zwei ganze rationale Functionen ?7, F, die nicht durch eine und dieselbe ganze rationale Function theilbar sind, heissen relativ prim oder theilerfremd.

Wir beweisen den Satz:

I. Sind C/, F, v ganze Functionen irgend welcher Veränderlichen, sind U und v relativ prim und U^F durch V theilbar, so ist F durch v theilbar.

Dieser Satz entspricht genau einem bekannten Fundamental- satz aus der Lehre von den ganzen Zahlen, dass nämlich, wenn ein Product von zwei ganzen Zahlen durch eine dritte ganze

§.20. Zerlegbare und unzerlegbare Fuuctionen. 73

Zahl theilbar ist, die zu dem einen Factor theilerfremd ist, der andere Factor durch diese Zahl theilbar sein muss.

Wir beweisen ihn durch vollständige Induction. Sind U^V v

nur von einer Veränderlichen x abhängig, so ist der Satz

richtig; denn nach §. 6 (Satz I) kann man in diesem Falle, wenn

U und V relativ prim sind, zwei andere ganze Functionen P und

P von X so bestimmen, dass

PU^ pv =1, woraus durch Multiplication mit V

pur-^pVv = V

folgt, und daraus ersieht man, dass, wenn IJV durch v theilbar ist, auch V durch v theilbar sein muss.

Wir nehmen also an, der Satz, den wir beweisen wollen, sei für Functionen von w und weniger Veränderlichen bewiesen, und wir leiten daraus seine Richtigkeit für Functionen von w -j- 1 Veränderlichen ab.

Dazu ist erforderlich, dass wir aus dem als richtig voraus- gesetzten Theorem I. einige Folgerungen ziehen, als deren Schluss sich dann die Gültigkeit des Theorems für die nächst höhere Variablenzahl ergiebt.

Ist V eine unzerlegbare Function, so ist eine andere Func- tion ü derselben Veränderlichen entweder relativ prim zu v oder durch V theilbar. Daraus folgt nach I. , dass ein Product von zwei Functionen U V nur dann durch v theilbar sein kann, wenn einer der beiden Factoren durch v theilbar ist. Dasselbe gilt für ein Product von mehreren Functionen, und so folgt aus I. das Theorem:

IL Ein Product aus mehreren ganzen Functionen ist nur dann durch eine unzerlegbare Function v theilbar, wenn wenigstens einer der Factoren des Productes durch v theilbar ist.

Wenn eine ganze rationale Function U auf zwei Arten in unzerlegbare Factoren zerlegt ist,

U = vv' v" ' ' ■ = w iv' iv" . . .^ so muss nach II. wenigstens einer der Factoren v, v\ v" . . . durch w theilbar sein, also etwa v. Dann aber kann, da auch V unzerlegbar ist, v von iv nur durch einen constanten Factor verschieden sein.

74 Erster Abschnitt. §. 20.

Demnach ist, wenn c dieser constante Factor ist, cv'v" • . 4 = iv' ic" . . ., woraus folgt, dass eine der Functionen v\ v" . . ., etwa v'. durch tv' theilbar ist, und sich also von tu' nur durch einen constanten Factor unterscheidet u. s. f.

Wir erhalten also als zweite Folgerung aus dem Theorem I:

III. Eine ganze Function kann, von constanten Fac- toren abgesehen, nur auf eine Art in unzerleg- bare Factoren zerlegt werden.

Hieraus ergiebt sich der Begriff des grössten gemein- schaftlichen Theilers von zwei oder mehr ganzen rationalen Functionen Z7, F. . . Man versteht darunter das Product aller unzerlegbaren Factoren, die in den Zerlegungen jeder der Func- tionen f/, F. . . vorkommen, oder die Function möglichst hohen Grades, die in allen Functionen U, V. . . aufgeht. Nach III. ist diese Function, von einem constanten Factor abgesehen, für jedes Functionen System ü, V. . . vollständig bestimmt.

Mehrere Functionen C/, F, W . . . heissen relativ prim, wenn keine zwei von ihnen einen gemeinsamen Theiler haben.

■ Alle diese Definitionen und Sätze sind genau analog mit sehr bekannten Sätzen der elementaren Zahlenlehre, die dort als Folgerungen des Algorithmus des grössten gemeinschaftlichen Theilers auftreten, nur dass hier die unzerlegbaren Functionen die Ptolle der Primzahlen übernehmen.

Wir führen noch einen solchen Satz an:

IV. Sind M, V relativ prim und Uu, üv durch iv theil- bar, so ist ü durch w theilbar.

Denn zerlegt man die ganzen rationalen Functionen C/, m, v,w in ihre unzerlegbaren Factoren, so muss irgend ein Factor von w, da er nicht in u und v zugleich vorkommen kann, in U auf- gehen. Hebt man ihn aus ü und iv weg, so kann man ebenso für einen nächsten Factor von tv schliessen u. s. f.

Wir betrachten nun ganze rationale Functionen einer Ver- änderlichen t

fit) = Uj"^ + Ml f^-i -I \- U,n-i t + M,„,

deren Coefficienten ganze rationale Functionen von n Veränder- lichen X sind, von denen t unabhängig ist.

Sind die Coefficienten tfo, "i • • . Um ohne gemeinsamen

§. 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen. 75

Theiler, so heisst f{t) primitiv, im anderen Falle wird der grösste gemeinschaftliche Theiler der Coefficienten «to, Wi . . . Um der Theiler der Function /(^) genannt (vergl. §. 2).

Wir schliessen, immer unter Voraussetzung der Gültigkeit von I:

V. Das Product von zwei primitiven Functionen f{t) und (p{t) ist wieder eine primitive Function und der Theiler eines Productes zweier imprimitiver Functionen ist gleich dem Product der Theiler beider Factoren.

Der Beweis ist ganz so wie für den entsprechenden Satz in §. 2.

Es seien

zwei primitive Functionen und

(2) F{t) = ü,t'-+^ + c/,<»^+."-i H \- r„^^,

ihr Product. Es ist dann, wenn r und s irgend zwei Ziffern aus den Reihen 0, 1 . . . m, und 0, 1, 2 ... /u- bedeuten (§. 2)

(3) Ur + a = llrVs + ^r-l l's + 1 + • • •

Wenn nun tv irgend eine unzerlegbare Function ist, die weder in allen Ur noch in allen Vg aufgeht, so wählen wir in (3) r und s so, dass Ur das erste nicht durch w theilbare u ist, also Ur-i, Ur-2 . . • durch IV theilbar sind, und dass ebenso Vs das erste, nicht durch ic theilbare v wird. Dann kann auch Lv + s nicht durch iv theilbar sein, weil alle Glieder, mit Ausnahme des ersten, durch iv theilbar sind, d. h. F{t) ist primitiv.

Daraus folgt unmittelbar, wenn p und q irgend welche ganze rationale Functionen der x sind, dass j)q der Theiler des Pro- ductes der beiden im primitiven Functionen pf{t), ? "JP (0 i^^j ^l^o der zweite Theil des Satzes V. Daraus folgt weiter:

VI. Wenn eine ganze rationale Function F (t) der n -\- 1 Variablen x und t in zwei Factoren zer- legbar ist, die in Bezug auf t ganz, in Bezug auf die X wenigstens rational sind, so ist sie auch in zwei Functionen zerlegbar, die in x und t ganz und rational sind.

76 Erster Abschnitt. §. 20.

Denn nach der Voraussetzung giebt es eine ganze rationale Function to der x allein und zwei ganze rationale Functionen der X und t, f^ (t), (p^ (i), so dass

•^^(0--/i(09'i(0,

und nach V. muss w in dem Product der Theiler von /^ {t) und 9)1 {t) aufgehen, so dass wir auch

F{t)=f{t)cp(t) erhalten, worin f{t), cp {t) gleichfalls ganze rationale Functionen von X und f, und zwar in Bezug auf t von demselben Grade wie /i (t) und (pi (t) sind, w. z. b. w. — Hieraus schliessen wir weiter, dass zwei Functionen i^(^), /(^), die als ganze rationale Functionen der n -\- 1 Veränderlichen x und t betrachtet, in dem oben defi- nirten Sinne relativ prim sind, sich auch, als Functionen von t allein betrachtet, und nach dem Algorithmus des grössten gemein- schaftlichen Theilers behandelt (§. 6), als relativ prim erweisen müssen. Denn wenn sie einen gemeinsamen Theiler hätten, der in Bezug auf t ganz, in Bezug auf die x gebrochen wäre, so liesse sich eine ganze Function T von x und t und eine ganze Function P der x allein so bestimmen, dass

FF{f) = TF,{t\ Pfit) = Tf,(t)

wäre, worin i^i, fi ganze Functionen ohne gemeinsamen Theiler sind. Wenn also Pj, pi, 31 die Theiler der Functionen Pi (^), /i (f), T sind, so sind P^ und p-^ relativ prim, und P^ 31 und p^ 31 sind durch P theilbar, also ist nach IV. auch 31 durch P theilbar; mithin sind F{t) und f(t) durch die ganze Function T: P theilbar, also nicht relativ prim, wie doch vorausgesetzt war.

Es ergiebt sich also nach §. 6, dass sich zwei ganze Func- tionen Q, q von x und t und eine ganze Function X von den X allein so bestimmen lässt, dass die Identität

(4) QF{t)-{-qf{t)=X

besteht.

Ist nun 0(t) eine weitere ganze Function von x und t, so folgt aus (4) durch Multiplication mit ^{t)

Q0it) F{t) + qO{t)f{t) = XO{t).

und wenn also 0(t) F(t) durch f{t) theilbar ist, so ist auch XQ(t) durch /(fj theilbar.

Demnach können wir, wenn (p(t) und il){t) wieder zwei ganze Functionen von x und t bedeuten, setzen:

§. 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen. 77

... XO{t) = cp{t)f{t)

Multiplicirt man die zweite dieser Gleichungen mit X und setzt aus der ersten für XO{t) den Ausdruck (p{t)f{t) ein, so lässt sich f(t) wegheben und es folgt

(p(t)F(t) = X^(0. Es muss also X sowohl im Theiler von (p(t)f(t) als in dem von (p{t)F(t) aufgehen, und da f(t) und F{t) und mithin auch ihre Theiler relativ prim sind, so muss X im Theiler von (p(f) aufgehen (nach IV). Setzen wir demnach

9 (0 = X <p, (0,

so lolgt aus (5)

d. h. 0(t) ist durch /(<) theilbar; also:

VII. Sind F(t) und f{t) relativ piim und 0(t)F(t) durch f(t) theilbar, so ist 0(t) durch /(f) theilbar. Dies aber ist nichts Anderes als das Theorem I. für Func- tionen von n -\- 1 Variablen, und I. somit allgemein bewiesen. Zugleich sind damit auch die aus I. gezogenen Folgerungen bewiesen, insbesondere die, dass eine Function von einer belie- bigen Anzahl von Variablen, abgesehen von constanten Factoren, nur auf eine Art in unzerlegbare Factoren zerlegt werden kann.

Zweiter Abschnitt. Determinanten.

§• 21. Permutationen von n Elementen.

Wir betrachten ein System von n unterschiedenen Elementen irgend welcher Art, z. B. die n ZiiEfern

1, 2, 3 ... w,

deren Complex in dieser bestimmten Anordnung wir mit 51 be- zeichnen wollen. Die Elemente von % lassen sich auf verschie- dene Art anordnen, z. B.:

2, 1, 3 ... w.

Der Uebergang von einer Anordnung zu einer anderen heisst eine Permutation.

Bezeichnen wir die Anzahl der verschiedenen Anordnungen, die nur von der Anzahl n der Elemente abhängen kann, mit n.(n), so ergiebt sich zunächst iT(l) = 1, 77(2) = 2, und um die Zahl allgemein zu bestimmen, denken wir uns zu w — 1 Elementen ein nies hinzugefügt. In jeder Anordnung der n — 1 Elemente kann nun das wte Element an n verschiedene Stellen gesetzt werden, nämlich vor das erste, zwischen das erste und zweite, zwischen das zweite und dritte u. s. f., endlich nach dem (n — l)ten, und alle die so entstandenen Anordnungen sind von einander verschieden. Daraus folgt:

(Ij n{n) = nn{n — 1),

woraus sich durch vollständige Induction

(2) 77 (w) = 1.2.3 ... w

ergiebt. so dass das Zeichen 11 (n) hier dieselbe Bedeutung hat, wie im ersten Abschnitt (§. 7).

§. 22. Permutationen erster und zweiter Art. 79

Irgend eine Anordnung des Systems ^ bezeichnen wir mit %', oder ausführlicher, wenn «j, «3 . . . k„ die Ziffern l, 2 . . . n in irgend einer Reihenfolge bedeuten, mit (3) 5t' = «1, «2 . . . a„.

Man kann auf sehr verschiedene Arten aus einer Anordnung eine beliebige andere ableiten, d. h. eine Permutation ausführen. Unter den verschiedenen Möglichkeiten sind für uns die durch sogenannte Transpositionen, d. h. durch successive Ver- tauschung von nur zwei Elementen ausgeführten, von besonderem Interesse. Durch mehrere, nach einander ausgeführte Transposi- tionen lässt sich aus jeder Anordnung, z. B. aus % jede andere 51' herleiten. Man kann zu diesem Zwecke etwa so verfahren, dass man in 51 zunächst das Element 1 mit dem, was in W an erster Stelle steht, also mit «j, vertauscht (falls nicht a^ = l ist), dann, wenn «o nicht schon = 2 ist, 2 mit «2 u. s. f.

Um z. B. von (1, 2, 3, 4) zu (4, 3, 2, 1) zu gelangen, bildet man die Anordnungen

(1, 2, 3, 4), (4, 2, 3, 1), (4, 3, 2, 1).

Bezeichnen wir eine Transposition kurz durch die beiden vertauschten Ziffern, also die Vertauschung von 1 mit 2 durch (1 , 2), so haben wir hier nach einander die Transpositionen (1, 4), (2, 3) ausgeführt.

Es ist zu bemerken, dass der Uebergang von einer Anord- nung zu einer bestimmten anderen auf unendlich viele verschie- dene Arten durch auf einander folgende Transpositionen erreicht werden kann. So geht die Anordnung (1, 2, 3, 4) auch durch die Transpositionen (1, 2j, (1, 3), (2, 4), (1, 2) in (4, 3, 2, 1) über.

Man kann auch etwa zunächst beliebig oft blindlings trans- poniren, und dann erst anfangen, die Transpositionen in der angegebenen Weise planmässig einzurichten.

Permutationen erster und zweiter Art.

Die n{n) Anordnungen von n Elementen lassen sich nach folgendem Gesichtspunkte in zwei Arten zerlegen.

Aus den n Elementen unseres Systems lassen sich

und nicht mehr Paare bilden. ^Yir wollen nun den n Elementen

80 Zweiter Abschnitt. §. 22.

1, 2, . . . « in bestimmter Weise w reelle Zahlwerthe «i, «2, . . . a„

zuordnen, und aus diesen Zahhverthen die — - Differenzen

«1 — 0^2 1 «1 — % • • • bilden , wobei der niedrigere Index dem Minuenden angehören soll. Das Differenzenproduct

(1) P = {eil — «2) («1 — %) • • • («1 — ««)

(a-a — ttg) . . . («2 — a„)

wird, wenn die a^ , «2 • • • «n von einander verschiedene Zahl- werthe sind, einen von Null verschiedenen ^Yerth haben, z. B. einen positiven, wenn ai >> a2 >> «3 . . . >> a„ angenommen war. Wenn wir nun die Indices 1, 2, 3 ... w irgendwie unter ein- ander vertauschen, also etwa von 51 zu 51' übergehen, so geht P in

(2) F' = (Cla^ üaj (a«i «a,) • • • (ciu^ ««„)

(a„., — ««3) . . . (««, — ««„)

über, und dies Product besteht, abgesehen vom Vorzeichen, aus denselben Factoren wie P, d. h. es ist P' entweder gleich P oder entgegengesetzt zu P.

I. Wir rechnen nun die Anordnung W^ und also auch die Permutation, die 5t in 51' verwandelt, zur ersten oder zur zweiten Art, je nachdem P mit P' gleich oder entgegengesetzt ist, so dass 51 selbst zur ersten Art gehört.

II. Durch eine einfache Transposition (/i, /■;), worin /i, Ji irgend zwei der Ziffern 1, 2 ... w bezeich- nen, ändert sowohl P als P' sein Vorzeichen.

Denn die Factoren, die h und k gar nicht enthalten, werden durch diese Transposition nicht berührt; dann haben wir in P und P' den Factor + (cih — öa) und die Factorenpaare ib («Ä — «») (cijc — a»), wo V die Reihe der Zahlen 1, 2 . . . w, mit Ausnahme von A, h durchläuft. Der erstere Factor ändert aber sein Zeichen, während das Factorenpaar ungeändert bleibt bei der Transposition (Ä, k). Daraus folgt:

§. 22. Permutation erster und zweiter Art, 3I

ni. Die Permutationen der ersten Art sind aus einer geraden Anzahl von Transpositionen zusammengesetzt, und die der zweiten Art aus einer ungeraden Anzahl.

Zu der ersten Art ist dann auch die sogenannte identische Permutation zu rechnen, die 51 ungeändert lässt.

Daraus ergiebt sich noch die Folgerung: Auf wie verschie- denen Wegen man auch 51' aus 51 durch Transpositionen ab- leiten mag, die Anzahl dieser Transpositionen ist bei allen diesen Arten übereinstimmend gerade oder ungerade (je nachdem 51' zur ersten oder zur zweiten Art gehört).

Wenn wir in den sämmtlichen Anordnungen

51, 51', 51" . . . der n Elemente eine Transposition, etwa (1, 2), vornehmen, so geht jede dieser Anordnungen in eine bestimmte andere über, etwa 51 in 5Ö, 51' in 53', 51" in S" . . ., und wenn wir dieselbe Transposition noch einmal wiederholen, so geht 33 wieder in 51, S' wieder in 51' . . . über. Daraus folgt, dass die Anordnungen Sß, 25', 53" . . . alle von einander verschieden sind und folglich in ihrer Gesammtheit mit der Gesammtheit der 51 überein- stimmen. Da nun, wie wir oben gesehen haben, die sämmtlichen

Diflferenzenproducte

P P' P'

die aus P mit den verschiedenen Anordnungen 5t, 51', 51" . . . gebildet sind, durch eine Transposition das Zeichen ändern, so folgt, dass jedem 51 der ersten Art ein 33 der zweiten Art ent- spricht und jedem 51 der zweiten Art ein 53 der ersten Art.

IV. Hiernach ist die Anzahl der Anordnungen der ersten Art ebenso gross, wie die Anzahl der

Anordnungen der zweiten Art, nämlich — TKji)^).

Für w = 3 haben wir die folgenden sechs Anordnungen, von denen die erste Horizontalreihe die erste Art bildet:

.gx (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)

(3, 2, 1), (2, 1, 3J, (1, 3, 2)

1) Diese Sätze sind hier aus der Betrachtung des Productes P, also einer Zahlgrösse, gewonnen. Wie man ohne Benutzung einer solchen Function zu denselben Ergebnissen gelangen kann, werden wir im XIV. Ab- schnitt sehen.

Weber, Algebra. L ß

82

Zweiter Abschnitt.

§. 23.

§• 23. Determinanten.

"Wir betrachten jetzt ein System von n^ beliebigen Grössen, mit denen die rationalen Rechenoperationen ausgeführt werden können. Zu einer einfachen Bezeichnung dieser Grössen wählen wir einen Buchstaben mit einem doppelten Index af\ worin i sowohl als Tc die Reihe der Ziffern 1, 2, 3 ... w durchlaufen soll. Zur besseren Uebersicht ordnen wir diese Grössen in ein Quadrat, so dass alle a mit demselben oberen Index in einer Horizontal- reihe, alle a mit demselben unteren Index in einer Verticalreihe stehen, und bezeichnen dies Quadrat mit ^, also:

a^), ai'\ <) . . . a(i)

af), ce\ af . . . af

(1)

^ =

af\

im

a(3)

n

er"' (v"> er

a

in)

Der Kürze halber nennt man die Horizontalreihen Zeilen,

die Verticalreihen Colonnen oder Spalten. Die Grössen üi'^ heissen die Elemente des Systems z/.

"Wir wollen aber unter dem zwischen verticalen Strichen eingeschlossenen Quadrat nicht nur den Complex der Grössen a verstehen, sondern eine bestimmte arithmetische Verbindung dieser Grössen, die sich ausrechnen lässt, sobald die a numerisch gegeben sind, und die wir jetzt beschreiben wollen.

Man bilde das Product aller Elemente a, die in der von links oben nach rechts unten gehenden Diagonale stehen:

(2) 31 = «(1)42)43) . . . «w,

leite daraus 77 (w) Producte Jf, Jf, M" . . . her, indem man die unteren Indices permutirt, und gebe jedem so entstandenen Product das positive oder negative Zeichen, je nach- dem die angewandte Permutation zur ersten oder zur zweiten Art gehört, also nach der Bezeichnung des vorigen Paragraphen:

(3) I Jf ' = 4- a(i) a(2) . . . a("\ •

Die Summe aus diesen Producten

Jf + ilf' + i¥" -|- • • • = U3I

§. 23.

Determinanten.

83

soll ^ sein. ^ wird die Determinante der n"^ Elemente a<^.'') genannt, und zwar, wenn die Unterscheidung nothwendig ist, eine w- reih ige Determinante (auch Determinante wten Grades oder wter Ordnung). Das Glied M dieser Summe, d. h. also das Product aller in der Diagonale des Quadrates stehenden Elemente, wird das Hauptglied genannt.

Nehmen wir z. B. n = 2, so erhalten wir (4) A = ap) a^p — a^i) a(2),

und für w = 3 [nach (3) des vorigen Paragraphen]: J = aWaf af + a^^"» a<-p a^^^ -f a'^^) af^ af^

JZi £• ». o 182'

oder in anderer Bezeichnung:

(5)

(6)

(7)

a, h

c, ä

= ad

hc.

a, a' a'

b, c b\ c' h", c"

ah'c" + bc'a" + ca'b" — ac'b" — ba'c" — cb' a".

Es ist dem Leser zu empfehlen , die Berechnung solcher Determinanten an Zahlenbeispielen einzuüben.

Die Bezeichnung (1) ist in vielen Fällen zu umständlich; es sind daher noch andere, kürzere Zeichen im Gebrauch. So setzt Jacobi, indem er nur das Hauptglied der entwickelten Deter- minante ausführlich schreibt:

(8) ^ = 2J ± a[i) af . . . «(«), und Kronecker noch kürzer:

(9) z/ = I af^ |.

Beide Bezeichnungen sind aber nur dann ganz deutlich, wenn die Elemente in der hier vorausgesetzten Weise durch zwei Indices bezeichnet sind, und durchaus unanwendbar, wenn die Elemente z. B. numerisch gegeben sind.

Es kommen bisweilen Determinanten vor, bei denen

t k

ist, bei denen also in (1) die symmetrisch zur Diagonale des Quadrates stehenden Elemente einander gleich sind. Wir werden in diesen Fällen gewöhnlich beide Indices (um ihre Gleichwerthig- keit anzudeuten) unten hinsetzen, also

tti, fc die, i

setzen. Solche Determinanten heissen symmetrisch.

G*

64 Zweiter Abschnitt. §. 24.

§. 24. Hauptsätze über Determinanten.

Aus dem Begriff der Determinante ergeben sich leicht die ersten Sätze, die für die Anwendung geeignet sind. ^Yenn wir in dem Product [§. 23, (3)]

\^J — "1 «2 "n

die Factoren umstellen, so ändert sich sein Werth nicht. Wir können also die Factoren auch so anordnen, dass die unteren Indices in ihrer natürlichen Reihenfolge 1 , 2 . . . « erscheinen. Dabei werden dann die oberen Indices in einer gewissen Weise permutirt erscheinen, also 31' die Form erhalten:

(2) ± api)a(.^«) ... ai'H

worin

(/3„ ß, ... ßn) = SS,

ebenso wie

(«1, «2 ... «n) = ^ eine Anordnung der Ziffern 1 , 2 . . . n bedeutet. Man kann die Anordnung S dadurch erbalten, dass man in den Factoren von 31' die Transpositionen, die zu 51 gefüln't haben, von der letzten anfangend, rückgängig macht, um in der Pieihe der unteren Indices wieder die ursprüngliche Anordnung zu erhalten. Die dabei sich ergebende Reihenfolge der oberen Indices ist dann die Anordnung S. Es folgt daraus, dass SB zur ersten oder zur zweiten Art gehört, je nachdem % zur ersten oder zur zweiten Art gehört, da beide durch die gleiche Anzahl von Transposi- tionen entstehen. Die Gesammtheit der 5Ö stellt ebenso wie die Gesammtheit der ^ alle Permutationen der n Elemente dar, da zwei verschiedene % niemals zu demselben S führen können. Damit ist bewiesen:

I. Die Determinante ^ kann auch dadurch gebildet werden, dass man in dem Hauptgliede a'-^^a^^^ ... u'^> die oberen Indices auf alle möglichen Arten per- mutirt, jedem der so gebildeten Producte das positive oder negative Zeichen giebt, je nachdem die angewandte Permutation zur ersten oder zweiten Art gehört, und dann die Summe aller dieser Producte nimmt.

§. 24. Determinanten. 85

In der Darstellung §. 23, (1) von /l werden durch die oberen Indices die Zeilen , durch die unteren Indices die Colonnen gekennzeichnet, und demnach können wir diesem Satze auch den folgenden Ausdruck geben:

IL Eine Determinante ändert sich nicht, wenn die Zeilen zu Colonnen und die Colonnen zu Zeilen gemacht werden.

Wenn wir in den sämmtlichen Anordnungen 51, 91', 91" . . . der w Elemente irgend zwei Elemente mit einander vertauschen, so bleibt die Gesammtheit dieser Anordnungen ungeändert, aber es geht jede Anordnung erster Art in eine Anordnung zweiter Art über und umgekehrt. Wenn wir also in den Gliedern Ji, 3/', M." . . ., aus denen /i zusammengesetzt ist, irgend zwei untere Indices vertauschen, so geht jedes Glied mit positivem Zeichen in ein anderes über, das in A mit dem negativen Zeichen behaftet war und umgekehrt, also es ändert z/ sein Vorzeichen. Daraus folgt mit Hülfe von II. der Satz:

III. Wenn man in z/ zwei untere oder zwei obere In- dices mit einander vertauscht, so ändert die Determinante nur ihr Vorzeichen.

Etwas anders ausgedrückt:

Wenn man zwei Zeilen oder zwei Colonnen mit einander vertauscht, so ändert die Determinante nur ihr Vorzeichen,

und daraus allgemeiner:

IV. Wenn in einer Determinante die Zeilen oder die Colonnen permutirt werden, so ändert sich der absolute Werth nicht, und das Vorzeichen ändert sich nicht oder geht in das entgegengesetzte über, je nachdem die angewandte Permutation zur ersten oder zweiten Art gehört.

Aus III. erhält man den folgenden Fundamentalsatz: V. Wenn in zwei Zeilen oder in zwei Colonnen die an gleicher Stelle stehenden Glieder einander gleich sind (kürzer ausgedrückt: wenn zwei Rei- hen einander gleich sind), so hat die Deter- minante den Werth Null. Denn die Vertauschung der zwei Reihen ändert nach III. das Zeichen, kann aber andererseits, da beide Reihen identisch

86 Zweiter Abschnitt. §. 25.

sind, nichts ändern, so dass für ^ nur der Werth Null übrig bleibt.

Man drückt den Satz V nur anders aus, wenn man sagt:

VI. Man erhält eine verschwindende Determinante, wenn man die Elemente einer Reihe durch die entsprechenden Elemente einer anderen Reihe, oder, kurz gesagt, wenn man einen unteren oder oberen Index durch einen anderen ersetzt.

§. 25. ü n t e r d e t e r m i n a n t e n.

In jedem Gliede der entwickelten Determinante

deren Werth wir jetzt mit A bezeichnen wollen, kommt jede der Zahlen 1, 2 ... n ein und nur einmal als unterer Index vor. Es wird also ein gewisser Complex von Gliedern den Factor oS^^ enthalten, ein anderer Complex den Factor af^ u. s. f., end- lich ein Complex den Factor a^"); jedes Glied der Determinante kommt in einem und nur in einem dieser Complexe vor.

Bezeichnen wir also den ersten dieser Complexe mit a^^^^^l^^), den zweiten mit af^ A^^^ den letzten mit a(")^["\ so können wir die Determinante folgendermaassen darstellen:

(1) A = a(i)^(i) -f ap)^p) -\ [- a["^A^«\

An Stelle des unteren Index 1 hätten wir ebenso gut jeden anderen, v, herausgreifen und daher

(2) A = a'^^ A^^' + a?^ A'^' -] h «t"^ ^t"^

setzen können. Darin bedeutet das Product al"^^»"^ den Complex aller Glieder der Determinante, die den Factor

a^^ enthalten.

Da dieselben Regeln wie für die unteren so auch für die oberen Indices gelten, so kann man die Determinante auch noch in der folgenden "Weise schreiben:

(3) A = af Af' + ar A^ -\ \- a^' A':\

worin fi gleichfalls jeden der Indices 1, 2 . . . n bedeuten kann.

§. 25.

Unterdeterminanten.

87

Die hierdurch vollständig definirten Grössen ^t"^ heissen die Unterdeterminanten der Determinante A. Um ihre Bildungs- weise genau kennen zu lernen, betrachten wir zunächst den Complex a^i^Ai\ Man erhält ihn, wenn man in dem Product

a'^' ai''

den unteren Index 1 ungeändert lässt und nur die übrigen In- dices 2, 3 ... w auf alle Arten permutirt und die Summe der entstandenen Glieder mit Rücksicht auf die Zeichenregel bildet, d. h. es ist Ai^ die {n — 1) reihige Determinante:

(4)

^(1) =

«2 5 «3

(3) (I

«2 5 "3

(.0

oder die Determinante, die man aus A erhält, wenn man in dem A darstellenden Quadrat [§. 23, (1)] die erste Zeile und die erste Colon ne weglässt.

Daraus ergiebt sich leicht die Bedeutung von Af^; man kann, indem man v— 1 Zeilenvertauschungen vornimmt, die rte Zeile zur ersten machen, und wenn man noch ^ — 1 Ver- tauschungen der Colonnen hinzunimmt, die fite Colonne zur ersten; im Uebrigen bleiben die Reihen in ihrer Aufeinanderfolge ungeändert. Die Determinante selbst hat den Factor ( — 1)" + '' angenommen und ist dem absoluten Werthe nach ungeändert geblieben (§. 24, IV). In der so umgeänderten Reihenfolge ist aber das Element aV an die Stelle des Elementes a^i^ getreten, und daraus schliesst man auf folgendes Bildungsgesetz:

Man erhält die Unterdeterminante Af^ dadurch, dass man in dem die Determinante darstellenden Qua- drat die beiden Reihen weglässt, die sich in af^ kreuzen, und den Factor ( — 1)" + " hinzufügt.

So erhält man z. B. für die dreireihige Determinante die folgende Darstellung:

(5)

a, 6, c a', h\ d a", &", c"	a	b\ c' b'\ c"	—
— a{h'd'	c'b	")-f &	{c'a"

a\ c

a

H Jl

a'\ b"

a'c") + eia'b" — b'a").

88 Zweiter Abschnitt. §. 25.

Da der untere Index v in ä[^^ gar nicht vorkommt, so ändert sich ^1"^ nicht, wenn der untere Index v durch einen anderen ersetzt wird. Dann aber verschwindet nach §. 24, VI. die Determinante. Wir erhalten demnach aus (2) die folgende wichtige Relation, in der /x, v irgend zwei von einander ver- schiedene Ziffern 1,2 ... n sein können:

(6) 0 = a^^ Ä'^^ + af ^(2) + . . . _!- a?> Ai"\ und ebenso bekommt man aus (3):

(7) 0 = af' AT + öL") A^ H h o!:' ^i'^

Beispielsweise ergiebt sich aus (5), wenn a, i, c durch

a', h\ c' ersetzt werden:

(8) a' (b' c" — c' b") + b' (c'a" — a' c") -f c' (a' b" — b' a") = 0, eine Formel, von deren Piichtigkeit man sich durch die einfachste Rechnung überzeugt.

Wenn wir die Relation (6) mit einem beliebigen Factor X multipliciren und zu (2) addiren, so erhalten wir die Formel:

(ü) A = (ai'' + A «L^O A'^^ + (a?' + X «^ A^^' +

die uns den folgenden Satz ausdrückt:

VII. Die Determinante ändert ihren Werth nicht,

wenn man zu den Elementen einer Zeile die

mit einem beliebigen gemeinschaftlichen Factor

multiplicirten entsprechenden Elemente einer

anderen Zeile addirt.

Derselbe Satz gilt auch von den Colonnen. Er wird zur

Vereinfachung und numerischen Berechnung von Determinanten

oft mit Nutzen verwendet. Wir fügen noch folgende Sätze bei,

die sich aus den Darstellungen (2), (3) sofort ablesen lassen.

VIII. Wenn alle Elemente einer Zeile oder einer Co- lonne einen gemeinschaftlichen Factor haben, so kann dieser weggelassen und als Factor vor die Determinante gesetzt werden.

Denn es ist nach (2):

p at'> A^^^ + p ai'^ A'P -\ ^ pai""^ ^1"^ = p A.

IX. Wenn in einer Zeile oder in einer Colonne alle Elemente bis auf eines verschwinden, so reducirt

§. 25.

Unterdeterminanten.

89

sich die Determinante auf das Product dieses einen Elementes mit der entsprechenden Unter- determinante.

Denn wenn a'y\ a^ . . . at"^ mit Ausnahme von al;"^ schwinden, so ist nach (2):

ver-

A = a^"^^(">-

V j

der Werth von A ist dann von den af\ af"> . . . a«"^ (mit Aus- nahme von ttv"'') ganz unabhängig.

Um von diesen Sätzen eine Anwendung zu machen, wollen wir den Werth der Determinante

1, a, a2 1, 6, h^

1, C, C2

bestimmen, worin a, &, c beliebige Grössen seien.

Multipliciren wir die zweite Colonne mit a und subtrahiren sie von der dritten, darauf die erste mit a und subtrahiren sie von der zweiten, so folgt nach VII:

1, 0, 0

1, h — a, h{h — a) 1 , c — a, c{c — a)

und nach IX:

J =

und endlich nach VIII: (10) z/ = (h — a) (c — a)

h — «, b{b — a) c — a, c (c — a)

1, &

1, c

= (b — a) (c — a) (c — b).

Auf die gleiche Weise kann man auch die n- reihige Deter- minante

1, Ol, a^ . 1, tta, ttj- .

a

a

n — \

1

n — 1

1

1, Cf,j, (In

a„

behandeln und findet ihren Werth gleich (aa — ai) {a^ — a^) . . . (a,, (ttg — 0.2) . . . (a„

(11)

«2)

(a„ — a„_i).

90 Zweiter Abschnitt. §.25.

Ordnet man die Colonnen in umgekehrter Reihenfolge, so

sind dazu, je nachdem n gerade oder ungerade ist,

n , n — 1 _ oder -2—

Vertauschungen erforderlich, so dass sich die so geordnete Determinante von z/ durch den Factor

n(n — \)

unterscheidet. Es kommt auf dasselbe hinaus, wenn man den

■ Factoren des Productes (11) das entgegengesetzte

Vorzeichen gieht.

Es besteht also zugleich mit (11) die Gleichung:

(«1 — aa) («1 — 03) ... (ai — a„)

(aj — tta) ... (tta — ein)

(12)

	• «1, . «2,	1 1
	• ^ni	1

(ttn — 1 ttn)-

Wir wollen hier noch eine Bezeichnungsweise der Unter- determinanten erwähnen, die der Differentialrechnung entnommen ist und oft mit Nutzen verwendet wird, besonders wenn es sich um die Bildung von Derivirten handelt.

Wenn die Grössen af^ als unabhängige Variable betrachtet

werden, so ist die Determinante A in Bezug auf jede von ihnen

nur vom ersten Grade. Die nach af^ genommene Ableitung oder

der Differentialquotient ist also gleich dem Goefficienten von

af\ also:

dA

dar

^''l

Wenn demnach z. B. die af^ Functionen einer Variablen t sind, so ist auch A eine Function von i, und man erhält nach den ersten Regeln der Differentialrechnung die Ableitung von A in Bezug auf t in der Form

(fc)

daf^

JL [l) z= ^Ji.i'

dt

7) a- wenn ■ ^^ die Ableitung von a^ nach t bedeutet. et

Wenn wir die Uh' als von einander unabhängige Variable

betrachten, so ist die Determinante

A = i: ±a(^^ai^^ . . . öL"^

§. 26. Höhere Unterdeterminanten. 91

eine homogene Function nten Grades von n Variablen, jedoch von der besonderen Eigenschaft, dass jede einzelne Variable nur linear darin vorkommt. Aus der Darstellung durch die Unter- determinanten (2), (3) lässt sich leicht schliessen, dass diese Function unzerlegbar ist. Denn ist F der unzerlegbare Factor von Ä, der die Variable ai;"^ enthält, so muss dieser Factor F wegen (2) eine lineare homogene Function der Variablen a^y\ af^ . . . at"^ sein, und wegen (3) eine lineare Function der Variablen af\ af^ . . . a^Jt^ (§. 20). Es enthält daher F alle Variablen üh^ und ist folglich mit A identisch. Wir sprechen also noch den Satz aus:

X. Die Determinante ist eine unzerlegbare Function ihrer «2-Elemente.

§. 26. Die Unterdeterminanten im weiteren Sinne.

Wir können nun die Betrachtungen des vorigen Paragraphen in folgender Weise verallgemeinern.

Wie wir vorhin von der Aufgabe ausgegangen sind, alle Glieder in der entwickelten Determinante Ä aufzusuchen, die den Factor ap enthalten, so wollen wir jetzt alle die Glieder aufsuchen, die den Factor

«r^ «^/^ . . . a':^

enthalten, worin v eine beliebige Zahl unter n sein kann. Diese Glieder erhalten wir aus dem Hauptgliede

1 2 . • . Cty v + 1 • • • Un ,

wenn wir bei der Permutation der unteren Indices 1 , 2 . . . v ungeändert lassen und nur v -\- l, . . . n auf alle Arten permu- tiren unter Berücksichtigung der Vorzeichenregel. Demnach ist der Inbegriff der gesuchten Glieder

(1) a(')af ... <")

<v^-.-<^^^

"r + 1 • • • "n

I. Die hier als Factor auftretende Determi nante von n — v Reihen, die wir mit ä\\2

1, 2 ... V

92 Zweiter Abschnitt. §. 2G.

bezeichnen, entsteht aus Ä durch Weglassen der V ersten Zeilen und Colonnen. Dieses Resultat wollen wir nun auf folgende Art verall- gemeinern :

Wir wählen irgend v Elemente

a<^^\ a(.^*) . . . a(''^)

aus, jedoch so, dass nicht zwei Elemente in derselben Zeile oder in derselben Colonne vorkommen, d. h. so, dass nicht zweimal derselbe untere oder derselbe obere Index vorkommt, und be- zeichnen den Inbegriff der Glieder der Determinante, die das Product dieser Elemente als Factor enthalten, mit

(2) aW a'^^ . . . a^'*») jißuß^---ßv^

Man kann durch Umstellen von Zeilen und Colonnen, wo- durch höchstens das Zeichen der Determinante geändert wird^ immer erreichen, dass die Elemente

(3) a^ß^\ a'ß^) . . . a('^')

an die Stelle der Elemente

aW, af . . . aW gelangen; dann aber lässt sich die Regel I. auf die Bestimmung

RR R

von Äalul.'..'u\ anwenden und es ergiebt sich:

IL Man erhält (vom Vorzeichen abgesehen) J.a|', aj.Üa" als {n — v)-reihige Determinante, wenn man in A alle Zeilen und Colonnen weglässt, die sich in einem der Elemente (3) schneiden, und die übrig bleibenden Zeilen und Colonnen in ihrer Reihenfolge stehen lässt. Für die Zeichenbestimmung aber ergiebt sich folgende Vor- schrift.

Man ordne die unteren und die oberen Indices 1 , 2 . . , w- in der Weise:

(4) «1, «2 ... «V, «>• + ! • • • *n

(5) /3i, ß, .. . ßr, /3v + i . . . /3«,

indem man a, + i ... «„ und ebenso ßy^x ... ßn der Grösse

nach auf einander folgend annimmt.

III. Die in IL beschriebene (w — v)-reihige Deter- minante erhält das positive oder negative Zeichen, je nachdem die beiden Anordnungen

§. 26, Unterdeterminanten rter Ordnung. 93

(4) und (5) der Ziffern 1, 2 ... n beide zu der- selben oder zu verschiedenen Arten gehören.

Denn die Determinante ändert ihr Zeichen durch jede Ver- tauschung zweier unterer oder zweier oberer Indices. Um den allgemeinen Fall (2) auf den besonderen Fall (1) zurückzuführen, hat man so viele Transpositionen oberer und unterer Indices vorzunehmen, dass die Permutationen (4) und (.5) beide in die ursprüngliche Anordnung 1, 2, 3 . . . n übergehen, und ebenso viele Zeichenwechsel haben stattgefunden.

Die so definirten Grössen

■a-ui, «2 . . . uy

heissen die vten Unterdeterminanten oder Unter- determinanten vter Ordnung. Sie sind dargestellt durch {n — vj- reihige Determinanten.

Aus III. folgt in Bezug auf diese Unterdeterminanten der Satz:

RR R

IV. Die Unterdeterminante Ä^l ul'.. . ix\. ändert nur ihr Vorzeichen, wenn zwei ihrer unteren oder zwei ihrer oberen Indices vertauscht werden, oder allgemeiner: sie bleibt dem absoluten Werthe nach ungeändert, wenn die Anord- nung der Indices «i, «2 • • • «v durch irgend eine andere Anordnung ersetzt wird und ändert das Zeichen oder nicht, je nachdem diese Permutation zur zweiten oder zur ersten Art gehört.

Bezeichnen wir aber mit «i, «2 ... «'„ irgend eine Anord- nung der «1, «2 . . . «„ so enthält die Determinante A auch den Complex der Glieder

4- fl^t') «fit«^ j'"^ .ßl.ß2...|*V

j= *«; "«2 * ■ ' "" ^«i.«2---«v'

und wenn wir also alle diese Glieder sammeln, so erhalten wir den Complex:

(6) AX':.% 2:±a!^^ a^!f ...cÜjl

Die hier auftretende o^- reihige Determinante

94

Zweiter Abschnitt.

§. 26.

"■«1 5 "'«2

(ft)

a

wollen wir die zw Äul%\\'.u\. complementäre Unterdeter-

min ante nennen und mit JB«/, '«'

1) .'"^ä • • • i^v

bezeichnen. Sie enthält

genau die Zeilen und Colonnen, die in Äul'u.,'.'.'.ttl fehlen und stimmt, abgesehen vom Vorzeichen, mit der Unterdeterminante {n — v)\.Q,r Ordnung

. /?v 4- 1 . . . /9„ -Äa,, + 1 . . . "„

Überein. Der Complex der Glieder (6) wird also bezeichnet mit

(7J

.hl ßi • • • ßv -pßl^ ^2 • ■ ■ ßv

-a.„j^ U.2. . . Uy -tJui, «2 . . . ab-

wählen wir nun für «i, «2 • • • <^v i^^^ Combination von v der Ziffern 1,2...«, deren Anzahl (nach §. 7) Bi"^ ist, so erhalten wir, indem wir ß^, ß.T . . . ßv festhalten, ebenso viele Complexe der Form (7), und jedes Glied der Determinante A kommt in einem und nur in einem dieser Complexe vor.

V. Demnach erhalten wir, wenn wir alle Ausdrücke (7) Summiren, die Determinante Ä:

(8)

-o- ^ -o-u^, U.2. . . Uy -D Ol, a.2 ... Uy'

Selbstverständlich kann man auch die Combination der ot festhalten und in Bezug auf die ß summiren.

Dies ist der Satz von Laplace.

Als häufig vorkommender specieller Fall mag der erwähnt werden , wo ß^, ß2 . . . ßy = l , 2 . . . v und wo a^f^ = 0 ist, wenn r einen der Werthe 1, 2 . . . v und gleichzeitig s einen der Werthe v -\- 1, . . . n hat. Dann werden alle Al[^ l^'.Wly = 0» mit Ausnahme von Äl]l'.\'.l., und man erhält

)1, 2

Ä = A\:l.::i b\

Der Satz wird durch folgendes Diagramm veranschaulicht, in dem das ganze Quadrat die Determinante A vorstellt, und wo in dem schraffirten Rechteck lauter Nullen stehen. Sind

g. 26.

Unterdeterminanten rter Ordnung.

95

B
v///////////////////.	C

dann 5 und C die in den beiden kleinen Quadraten stehenden Determinanten von v und n — v Reihen, so ist

(9) A = B C.

Noch eine andere Darstellung der Determinante Ä durch

die ersten und zweiten Unterdeter- minanten erhält man auf folgende Weise.

Man wähle in A irgend zwei Reihen aus , die sich in einem Ele- mente, etwa in a[;"), schneiden. In jedem Gliede von A kommt ein Element mit dem unteren Index v und ein Element mit dem oberen Index ^ vor. Wir haben also zunächst in A den Com- plex al"^ A'y'-' und ferner die verschie- denen Complexe al*^ a^"^ -4',.',^, worin i jeden von ^ verschiedenen und k jeden von v verschiedenen Index bedeuten kann.

VI. Wirkönnendahersetzen:

oder nach IV.

(lOj ■ A = at"^ ^^"^ — 1' at') a^f A^^i

Wir bemerken zu diesem Satze noch, dass .4" ^ die dem Ele- mente a'jj> entsprechende erste Unterdeterminante der {n — Ij reihigen Determinante A^'^ ist; denn Av'u ist der Coefficient von ai"^ ttk^ in der Entwickelung von J. und A[^^ der Coefficient von

ai^\ folglich -4v,'fc der Coefficient von Uk^ in der Determinante Af\ Man kann nach diesem Satze die sogenannte geränderte Determinante

aW, a[i) . . . a(^i\ u.

(11)

U

a("), a^">

•'D

Vo

/(2).

M.,

al»), w„

v„

nach den Elementen der letzten Zeile und Colonne entwickeln und erhält

(12j

U = qA — 2: 2J Ui Vk A):

(i).

96

Zweiter Abschnitt.

§. 27.

Man erhält diese Gleichung aus (10), wenn man n in n -\- 1 verwandelt, und die Elemente der letzten Zeile und Colonne durch eine andere Bezeichnung auszeichnet.

Ersetzt man q durch q — w, worin u wieder eine beliebige Grösse ist, so ergiebt sich die oft angewandte Formel:

(13)

	n ' ^	u
	. -i^n, q

= U — J.W,

worin U die Bedeutung (12) hat.

Auch bei den höheren Unterdeterminanten ist bisweilen die Bezeichnung durch Differentialquotienten zweckmässig, so dass z. B,

(14) A'S = -f^a^i) y^

gesetzt wird.

§. 27. Lineare homogene Gleichungen.

Die hauptsächlichste Anwendung der Determinanten, der die ganze Theorie ihren Ursprung verdankt, ist die Auflösung linearer Gleichungen.

Wir wollen hier die Aufgabe gleich in allgemeinster Weise in Angriff nehmen, da die specielle Form kaum eine Verein- fachung ist und sich nachher leicht aus dem allgemeinen Eesul- tate ableiten lässt.

W^ir betrachten ein System von m Gleichungen ersten Grades, in denen n Unbekannte iTi, X2 . . . Xn homogen vorkommen:

a<^^ X, 4- a^p x,-\ h «L^^ ^„ = 0

a("Oxi 4- a^a^a -\ \- a'^^x^ = 0,

worin die Coefficienten aO") als gegebene Grössen betrachtet werden. Ueber die Zahlen m, n wollen wir vorläufig noch gar keioe Voraussetzung machen, sondern uns allgemein die Aufgabe

§. 27. Lineare homogene Gleichungen. 97

stellen, alle Werthsysteme der x-^, x^ . . . Xy, zu ermitteln, die den Gleichungen (1) genügen.

Eine Lösung der Gleichungen (1) können wir sofort angeben: sie sind nämlich, was auch die Coefficienten a^^) sein mögen, erfüllt, wenn

(2) a^i = 0, a:^2 = 0, . . . x^ = 0.

Einen anderen extremen Fall können wir noch erwähnen- wenn nämlich die Coefficienten af^ sämmtlich den Werth Null haben, dann sind die Gleichungen (1) für beliebige Werthe von a^i, x^ . . . Xn befriedigt.

Der allgemeinen Beantwortung der Frage schicken wir fol- gende Bemerkungen voraus.

Wir schreiben das System der Coefficienten von (1) in Form eines Rechtecks

1 ' 2 n

Ein solches Schema, das für sich noch keine numerische Bedeutung hat, heisst eine Matrix, insofern es als Quelle einer grösseren Anzahl von Determinanten betrachtet wird.

Die der Matrix entstammenden Determinanten er- hält man, wenn man beliebige Zeilen und Colonnen weg- lässt, in beliebiger, nur insoweit bestimmter Anzahl, dass die übrig bleibenden Elemente ein Quadrat bilden, und dieses Quadrat als Determinante auffasst.

So erhält man aus der Matrix einreihige, zweireihige u. s. f. Determinanten. Die höchsten Determinanten sind n- oder m-reihig, je nachdem n oder m die kleinere Zahl ist (oder w-reihig, wenn n = m ist).

Wir machen nun die Annahme, dass unter den v- reihigen Determinanten der Matrix wenigstens eine von Null ver- schieden sei, während die (v -j- 1) reihigen und folglich auch die höheren Determinanten, falls solche vorhanden sind, alle verschwinden sollen, v kann jede Zahl sein, die nicht grösser als die kleinere der beiden Zahlen n oder m ist (oder falls n = m ist, diesen gemeinschaftlichen Werth nicht übertrifft).

Eine solche Zahl v wird sich immer finden lassen, wenn wir

Weber, Algebra. L 7

98

Zweiter Abschnitt.

§. 27,

den schon erledigten, ganz interesselosen Fall ausschliessen, dass alle Coefticienten a^!'^ verschwinden.

Wir können, ohne die Allgemeinheit zu beschränken, zur Vereinfachung der Bezeichnung annehmen, die nicht verschwin- dende f-reihige Determinante sei

(4)

Ä =

an\ «(1) . . . «(1)

aO\ c/^')

«(;)

Denn offenbar steht es uns frei, das Gleichungssystem (1) in beliebiger Weise anzuordnen, und ferner können wir die Bezeich- nung der Unbekannten x so wählen, dass irgend v von ihnen die V ersten sind.

Die Unterdeterminanten von Ä bezeichnen wir wie früher mit A(^\ worin i. Je von 1 bis v gehen,

"Wenn nun zunächst v = n ist, was voraussetzt, dass m nicht kleiner als n ist, so haben die Gleichungen (1) keine andere Lösung, als die in den Gleichungen (2) enthaltene.

Denn greifen wir die n ersten der Gleichungen (1) heraus:

«(» X, + a(iJ 0^2 H h ail^ Xn = 0

(5)

multipliciren diese der Reihe nach mit Au\ Ä^^ . . . äI'!*\ worin ^ jeder der Indices 1, 2 . . . n sein kann, und addiren sie, so folgt, weil nach §. 25 (2) und (6)

(«V „(0

= 0 oder = Ä

ist, je nachdem /l von ^ verschieden ist oder nicht,

und da nach unserer Voraussetzung Ä von Null verschieden ist,

Xu = 0. Damit ist bewiesen:

I. Wenn ein System von m linearen homogenen Gleichungen mit n Unbekannten eine Lösung hat, bei der nicht alle Unbekannte verschwinden, so

•

§. 27, Lineare homogene Gleichungen. 99

müssen, wenn ni ^ n ist, sämmtliche w -reihige Unterdeterminanten der Matrix der Coefficienten, (3), verschwinden.

Wir heben den am meisten angewendeten besonderen Fall m = n hervor und geben dem Satze für diesen Fall den folgen- den Ausdruck :

II. Wenn ein System von w linearen homogenen Gleichungen mit n Unbekannten eine von Null verschiedene Determinante hat, so haben sämmt- liche Unbekannte den Werth Null, oder:

Wenn ein System von n linearen Gleichungen mit ebenso vielen homogen vorkommenden Un- bekannten eine Lösung hat, bei der nicht alle Unbekannten verschwinden, so verschwindet die Determinante des Systems.

Unter der Determinante eines Systems von n linearen homogenen Gleichungen mit n Unbekannten ist hier die Determinante aus den n^ Coefficienten dieser Gleichungen ver- standen.

Wir betrachten ferner den Fall, dass v kleiner als n ist. Da m gleich oder grösser als v sein muss, so wählen wir die v ersten Gleichungen des Systems (1), und schreiben sie so:

a^^^x, -f a(^^x^ H h a(^>x,. = — a'/^^^v + i a[l^ x^

(6) «f^^i + <'^2 H h «l^'^v = — <^ii^.+i af a:„

«("'a^i + a^'^x, H h <^^^' = — <Vi^^ + ' «n^^«-

Wir bezeichnen wieder mit (i einen der Indices 1, 2 . . . v,

multipliciren die Gleichungen (6) der Reihe nach mit Au\

-4jf^ . . . ä'-^^ und addiren sie. Daraus folgt, wie vorhin, mit Benutzung von §. 25, (2), (6):

(') -AXu = Cv + l,H^V + l • • • C„, ^X„,

wenn zur Abkürzung gesetzt ist:

(8j C,,u = i aV A'^, A = V --^ 1, t; 4- 2, . . . 7^.

1,»'

Nach §. 25, (2) ist C;.,u die Detenninante, die aus der durch

(4) definirten Determinante dadurch hervorgeht, dass man die

7*

100

Zweiter Abschnitt.

§. 27.

Elemente der fiten Colonne a« a[f) ... aj;) durch a^\ af ... a^p

ersetzt.

Durch (7) sind nun, da A von Null verschieden ist, die aTi, X.2 . . . Xv linear ausgedrückt durch a^v + i, • • . ^n und durch die bekannten Grössen.

Es ist nun noch zu zeigen, dass durch die Ausdrücke (7) die Gleichungen (1) befriedigt sind, welche Werthe auch Ä-,. + i, . . . Xn haben mögen, dass also n — v von den Unbe- kannten willkürlich bleiben, von denen die übrigen v nach (7) abhängig sind.

Um die Wahrheit dieses Satzes einzusehen, haben wir nur die Ausdrücke (7) in die Gleichungen (1) einzusetzen. Man ver- einfacht die Rechnung sehr durch Anwendung eines Summen- zeichens Z", bei dem wir, wie schon oben, die Summationsbuch- staben oben, die Grenzen unten anhängen. Zunächst können wir dann die Gleichungen (7) so schreiben:

((0

(9j Ax^ = - E E a\V A'l' Xn,

([1 = 1, 2

V.

1,11 l,y

Wir multipliciren, wenn k irgend eine der Ziffern 1, 2 bedeutet, mit a'^'> und summiren in Bezug auf ^:

10) AEa'^^Xu = -Exh h Z a\t> «L'^ Af,

1, V r + l,n 1, V l.v

Dazu addiren wir beiderseits die Summe

/^ = 1, 2

m

m.

und erhalten

s- ..(''•)

(11) AEa'u' Xa

AE (jtn^ Xn

»■ + l,n

.CO .,(t) aH)

--Ex,AA av -EE «r «r ^' •

r + l, n \ l,*- l,v /

Der Factor von Xu in der Summe auf der rechten Seite ist nach §. 26, (12) die Determinante

a^^-\ af . . . af , af

(12)

V ' h

af, afi . . . af , «jf^

und verschwindet daher, wenn Je ^ v ist, nach §, 24, V., weil zwei Zeilen übereinstimmen, wenn aber 7»; >» v ist, nach der

DEPARTMtKf Of MATHÜMATICS" IINIVFRSITY OF TORONTO

§. 27. Lineare homogene Gleichungen. 101

Voraussetzung, weil dann (12) eine v -\- 1 reihige Determinante der Matrix (3) ist. Wir bekommen also aus (11), da A von Null verschieden ist,

(13) Ua^^Xf, =0, Jc=l,2...m,

l,n

d. h. das System der Gleichungen (1) ist durch (7) befriedigt. Damit ist bewiesen:

III. Wenn in einem System von m linearen homogenen Gleichungen mit n Unbekannten alle v -|- Ireihi- gen Unterdeterminanten der Matrix der Coeffi- cienten verschwinden, so hat das System eine Lösung, in der mindestens n — v von der Unbe- kannten willkürlich bleiben. Ist m << 7^, so giebt es immer eine Lösung, in der mindestens n — m der Unbekannten willkürlich bleiben;

und hiervon ist ein häufig vorkommender specieller Fall:

IV. Wenn die Determinante eines Systems von n line- aren homogenen Gleichungen mit ebenso viel Unbekannten verschwindet, so können die Gleichungen so befriedigt werden, dass nicht alle Unbekannte verschwinden.

Wir wollen von dem so bewiesenen Satze noch den anderen Fall hervorheben, dass m = n — 1 und v = n — 1 ist. In diesem Falle bleibt nur eine der Unbekannten beliebig und die Verhältnisse der Unbekannten sind völlig bestimmt. Wir können diesem Resultate folgenden Ausdruck geben:

Bezeichnen wir die (n — 1) reihigen Determinanten der Matrix

(14) «^ «f •••«^n^

1 ' 2 n '

mit abwechselndem Vorzeichen genommen durch

und nehmen an, dass wenigstens eine von diesen Grössen von Null verschieden sei, so ist die Lösung des Systems:

102 Zweiter Abschnitt. §. 28.

a^^'^x.	+ a'^^x.	__ .		— 0
afx^	4- afx.		n "	— 0 • ■ •

(15)

gegeben durch die Verhältnisse

(16) Xx '• X.2 : • • • : Xn ^= A^ : A-i : ' ' ' : An-

So erhalten wir für n =: 3 die Lösung des in der Geometrie oft

vorkommenden Gleichungssystems

. ax -Jr hy ^ CS = 0

^^ a'x-{-h'y+ c'2 = 0

in der Form

(18) X : y : s ^ hc' — cb'. : Ca' — ac' : ah' — ba'.

§. 28. Elimination aus linearen Gleichungen.

Es kommt bisweilen vor, dass es sich bei einem gegebenen System linearer Gleichungen nicht sowohl um die wirkliche Er- mittelung der Unbekannten handelt, als um die Beurtheilung der Möglichkeit ihrer Lösung, also um die Aufstellung der Bedingungs- gleichuugen, die zwischen den Coefficienten bestehen müssen, wenn Lösungen oder Lösungen von bestimmter Art überhaupt vorhanden sein sollen. Die Aufstellung dieser Bedingungs- gleichungen heisst Elimination. Implicite ist die Lösung dieser Aufgabe schon im Vorhergehenden enthalten; wir wollen aber noch ausdrücklich auf einige hierher gehörige Fragen zurückkommen.

Wir betrachten, wie im vorigen Paragraphen, ein System von m linearen Gleichungen mit n homogen vorkommenden Unbekannten, und fragen: wann hat dies System eine Lösung, bei der nicht alle Unbekannten verschwinden? Wir haben schon gesehen, dass dies immer der Fall ist, wenn w >. m ist.

Ist aber n ^ m, so ist die nothwendige und hin- reichende Bedingung für eine solche Lösung die, dass alle »^-reihigen Determinanten der Matrix verschwinden. Denn wenn eine. von diesen nicht verschwindet, so sind nach §. 27, IL die Werthe der Unbekannten nothwendig Null, während, wenn sie

§. 28.

Elimination.

103

alle verschwinden, eine Zahl v <^ n gefunden werden kann, so dass alle (v-|- 1) reihigen Determinanten der Matrix Null sind, während von den z'-reihigen wenigstens eine nicht verschwindet, so dass also nach §. 27, III eine Lösung von der verlangten Art vorhanden ist.

Die Anzahl der aus einer Matrix von m Zeilen und n Colon- nen zu bildenden 7i-reihigen Determinanten ist, wenn n ^ m ist, gleich der Anzahl der Combinationen von m Elementen zur wten Classe ohne Wiederholung, also (nach §. 7) gleich:

m (m — 1) . . . (m — n -\- 1)

1 . 2

n

und so gross wäre also die Anzahl der Bedingungen. Ist n = m, so ist diese Zahl = I und wir erhalten den Fall §. 27, II. und wie zu erwarten war, eine Bedingung. Im Allgemeinen ist aber diese Anzahl der Bedingungen, obwohl sie alle erfüllt sein müssen, grösser als nöthig ist, weil einige von ihnen nothwendige Folgen der übrigen sind.

Um ein System von nothwendigen, hinreichenden und von einander unabhängigen Bedingungen zu erhalten, fassen wir die Fragestellung etwas präciser und fragen nach den Bedingungen:

dass aus einem System von 7n linearen, homogenen Gleichungen mit n Unbekannten v von den Un- bekannten durch n — v willkürlich bleibende vollkommen bestimmt werden können.

Auch diese Frage ist in §. 27 eigentlich schon beantwortet. Es muss unter den v-reihigen Determinanten eine von Null ver- schieden sein, während die (r -|- 1) reihigen alle verschwinden. Es genügt aber schon, wenn es von einer kleineren Anzahl der (v -|- 1) reihigen Determinanten feststeht, dass sie verschwinden.

Nehmen wir an, die Unbekannten x, + i, ä;v + 2 • • • ^n sollen willkürlich bleiben , x^ , x.^ . . . Xv durch sie bestimmt sein , und nehmen die Determinante:

(1) Ä

als von Null verschieden an.

a")

104

Zweiter Abschnitt.

§• 23.

"Wir berechnen die Unbekannten x^, X2 . ■ . Xy nach §, 27, (9) und bilden die Summen §. 27 (11), deren Verschwinden besagt, dass das gegebene Gleichungssystem wirklich befriedigt ist. Die Bedingungen werden also :

(2)

af,

"2

»■ ' h

oder anders geschrieben:

(3)

f ' h

ß) ^(fe) jW

= 0,

A af -E E al> a^ A'^' = 0,

1,»' ],V

und diese Bedingungen genügen auch. Die Gleichung (2) oder (3) ist aber identisch befriedigt, wenn ä = 1, 2 . . . v oder ](, T= \^ 2 ... V ist , und giebt also für diese Werthe keine Bedingung für die Coefficienten. Solche Bedingungen ergeben sich nur für

. h = V -^ \, V -{- 1 . . . n

^ ' Ä;=r'i'-f-l, v-|-2...m,

also

(5) (w — v) (m — v),